432 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
aussi dans l’intérieur de (a,b), mais elle possède une discontinuité en b. 
Pour voir si en b on peut attribuer à f (x) une valeur telle que l'intégrale 
indéfinie de f(x) admette cette valeur comme dérivée en b, on calcule la 
fonction intégrale 
F(E)= -fi feæjda + (a<E£b) 
et l’on forme l'expression 
a nn i 
Taleb 
Si cette expression tend vers une limite bien déterminée lorsque £ tend 
vers b, alors F(æ)admet en b une dérivée (à gauche) et l’on attribue cette 
valeur limite à f(x) au point b. 
3. Cela rappelé, je vais considérer un exemple précis : Adoptant une 
figuration géométrique, je marque sur l’axe Ox les points A et B pour 
représenter les extrémités æ et bde l'intervalle (a, b). Dans cet inter- 
valle (a, b) je prends une suite croissante de nombres 
(2) g Dis) pue 
admettant b comme nombre limite et je marque sur Ox les points B,, B... 
correspondant aux nombres de la suite (2). Sur chacun des segments B, B,., 
pris comme base je construis un triangle isoscèle B,C,B,.,, de hauteur 
constante Å. La ligne polygonale ACB, C, B, … un y une fonction f(x) 
qui possède une seule discontinuité : en b. TEE 
A quelle condition cette fonction f(x) est-elle une dérivée, même au 
point de discontinuité b (où, dans le cas affirmatif, il faudra lui attribuer la 
valeur dont il est question au numéro précédent )? 
Si je pose 
by On = Ên et bia : 
la condition cherchée s’exprime comme il suit : 
Il faut et il suffit que la convergence de la série 
b— a z= D Bi 
1 
soit extrêmement faible. 
