SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1916. 433 
THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur l'unicité du développement trigonometrique. 
Note de M. D. Mexcuorr, présentée par M. Hadamard. 
Dans la présente Note je me propose de démontrerl’existence d’une série 
trigonométrique à une infinité de coefficients non nuls qui converge unifor- 
mément vers zéro dans (0,27), sauf sur un ensemble parfait de mesure 
nulle. | 
D'abord nous avons besoin du lemme suivant : 
Lenne. — I existe une fonction f(x), non identique à une constante 
absolue, continue dans (o, 27), constante dans chaque intervalle contigu à un 
ensemble par fait P de mesure nulle, pour laquelle on a 
aT 
lim n f f (la)cosn (a —x)da—=0o 
n=% do 
uniformément dans (ox S27). 
Nous commençons par définir l’ensemble parfait P. Dans le procédé de 
définition de P, excluons d’abord dans le domaine (0,27) un intervalle 
concentrique dont la longueur est la moitié. A la seconde opération, 
excluons dans chacun des deux intervalles restants un intervalle concen- 
trique dont la longueur est le tiers. A la k®™ opération, excluons dans 
chacun des 24! intervalles restants un intervalle concentrique dont la 
longue 7 
gueur est par 
de sa longueur, et ainsi de suite. La longueur totale des 
« , 1 ième ? nd A i à 27 D 
intervalles conservés après la 4°"° opération est égale à ——: Donc, en 
continuant ainsi, nous formerons un ensemble parfait P de mesure nulle. 
Soit S, le système des intervalles (en nombre 2*— 1) enlevés par les 
k premières opérations. Numérotons ces intervalles d’après la croissance de 
' sOy D `N kos si M 
leurs extrémités gauches : 0s, da; Öss +-+; Cats. SOI Ek (æ) une fonction con 
tinue définie dans (0,27) par les conditions suivantes : g,(0) = gx(2T)=0; 
| 2h — | 
ahk-1 
l > a n A D 1e ’ 
SAT) = rs pour æ£r situé dans 0,; g(r) = pour æ2# situé 
dans à, ; gx (æ) varie linéairement en dehors de S;. La fonction g,(æ) sera 
La , , . * . [2 k À r 
représentée géométriquement par une ligne brisée de 2°*' — 1 côtés. 
D’après uu calcul élémentaire, nous aurons les propriétés suivantes de 
la fonction g; (æ) : 
1° Bri (£1) = g,(æ) dans le système S;; 
