434 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
A I . ; 
20 [gx (x) — gx(æ)|S AR uniformément dans (0,27); 
pe) 0 daue le système S; ; 
' =- I 
4° g(x) = * 
et le signe — pour x > T. 
en dehors de S}, en prenant le signe + pour v< aT 
Nous en conclurons, d’après la propriété 2°, que les fonctions g,(x), 
g2(æ), .…, ZEL), ... tendent uniformément vers une fonction limite $f (æ) 
continue dans (o, 27) qui est constante dans chacun des intervalles con- 
tigus à P et qui n’est pas constante dans le domaine total (0,27), puisque 
fto)=0eti(ri = +. 
Nous allons démontrer que cette fonction § (x) vérifie l'énoncé du lemme 
proposé. 
Donnons-nous un entier positif z. Soit # un entier positif tel que 
+ inc 2". Nousavons 
nf #tæ)cosn(a— dan f a Proerin 
27 
+n f grla) cosn(a— x) da = 31+ de. 
© 
D’après la propriété 2°, nous avons |8 (x) — g(æ)| < TT uniformé- 
ment dans (0, 27), d’où 
C 
(2) ins log n° 
C’ étant une constante absolue. Pour l'intégrale 5, nous avons 
2% 
Ja = — ‘a gr(æ) sinn(a— x)da. 
bal à 
Soit px = E |k — vÆ]. Définissons les deux fonctions W(x) et y(x) 
par les fonctions suivantes : W,(æ)—o dans le système S, et 
Taia + + FT! en dehors de S 
Pr? 
en pangot le signe + pour æg < 7T et 
! dans les intervalles de la diffé- 
le signe — pour es sae 
rence S; — S,, des systèmes S, et Spy à prenant le signe — pour x <7 et 
le signe + pour x> am, et yx(x) = o en dehors de S,— S,,. Nous avons 
identiquement g(x) = F(x) + yx(æ), d’où 
IR 27 
(3) — De = W,(a)sinn(a — æ) da + | ya (a)sinn(a — x) da = 3+ I 
0 9 
