SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1916. 435 
En désignant par (a,b) un intervalle contigu au système S,, nous 
trouvons 
k+1: dés k +1 2 
ci nes ba Pre. CS r 
1331< > 5 P snaz(a—z)daąal s$ e n 
où la sommation doit être étendue à tous intervalles (a,b) contigas à S 
Comme ces intervalles (a,b) sont en nombre 271, nous avons 
Pi”? 
R hi 
(4) ; pa LE ne LES 
PACE Vlogn 
où C” est une constante absolue. 
Pour l'intégrale 5,, nous avons l'inégalité 
jai< f lxala) |da. 
Comme la fonction y,(x) diffère de zéro seulement dans les intervalles 
2T 2T 
de S, — S,, dont la longueur totale est ae T A 
s ef 27 27 ) 74 
5 dpp — —) <->, 
(5) juhe T Pil k+ı, Vloga 
C” étant une constante absolue. En combinant d’une part (1) et (2), 
d'autre part (3), (4) et (5), il vient finalement 
T? ; C 
nf F(a)cosn(a — £) da j| <)> 
9 Vlog 
C étant une constante absolue, ce qui achève la démonstration du lemme. 
C. Q. F. D. 
Tutorèwe. — I existe une série trigométrique uniformément convergente 
vers zéro dans (0, 27), sauf un ensemble parfait de mesure nulle, et possé- 
dant une infinité de coefficients non nuls. 
En effet, la série trigonométrique obtenue en dérivant terme à terme la 
série de Fourier de la fonction continue f(æ+) est sommable par le procédé 
de Riemann et représente zéro en tous les points de tout intervalle (b, c) 
extérieur à P. En vertu du lemme précédent, les coefficients de cette série 
trigonométrique tendent vers zéro et sont en infinité non nuls, puisque f(x) 
est non analytique dans (o, 27). Or, d’après le célèbre théorème de 
Riemann, la convergence au sens ordinaire de la série trigonométrique 
