SÉANCE DU 30 OCTOBRE 1916. 473 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les zeros de Y (s) de Riemann. 
Note de M. C. pe La VazLée Poussix. 
Je me propik de démontrer le théorème suivant : Soient a une con- 
stante `> ; mais Z1, € une constante positive aussi petite qu’on veut ; le nombre 
des racines de C(s) qui sont d'ordre impair et de la forme 1 + ti, où l’on a 
3 
T<i<T—+ T’, est infini avec T et d'ordre plus élevé que To logT. En 
particulier, le nombre des racines où t est compris entre T et (1+ £)T est 
d'ordre supérieur à T' stog T. 
La démonstration de ma Note précédente (') se rattachait immédiatement aux 
idées de M. Hardy. Celle-ci se rattache plus directement aux idées de M. Landau (?); 
elle a l'avantage de s'appliquer aux fonctions liées à une progression arithmétique, 
auxquelles on peut donc étendre le théorème que je viens d’énoncer. 
. L’équation (1) de ma dernière Note peut s'écrire comme il suit : 
I es LE £ 
I ALES xt H dt —— 2 2 mime 
(1) Ar f: p(t) e ?+2e DN 
1 
J'y remplace æ par æ — 28i (5 > 0). Le module du second membre est 
inférieur à la somme de ceux des termes, donc à 
eÊ + 9 sy enr ef E PA AT ES 2 eê f e-r Te" cosza dæ 
i D 
1 i 
e~ $ 2e P 
Le Ba ya e mener une 
Vcos2æ . ycos2a 
J'écris que la partie imaginaire du premier membre de (1) est inférieure 
à cette limite; il vient y 
I 
; i 
(2) wif e sin (ae) 2(0 del < E (a< 2): 
(*) Comptes rendus, t. 163, 1916, p. 418. 
(C) Math. Ann., B. 26, p. 212-243. J'utilise quelques procédés de raisonnement de 
M. Landau. | : 
