472 - A ADÉMIE DES SCIENCES. 
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2. Je considère une fonction bornée impaire, 2(4), de période 7, 
exprimée en série trigonométrique 
ant H anri 
n E D Faen bisin = F b, iH Ja .. + 6, sin — + 
telle que le produit |nb,| soit < A donné quel que soit z. Alors; par laddi- 
tion d’inégalités comprises dans (2), j'obtiens (' ) 
nT 
(3) kl. argipen SR E e 
IT ycos2g n ycos2a 
. où # est une constante convenable, car on a 
Te a 
Xe <y ———— vE = pue) MES =log(r+2). 
dr PL 
3. Voici maintenant la définition de (4). Je me donne les nombres £ > 0, 
3 P. . 
us zet Sn, b>1, enfin T assez grand pour que T? soit > T + T°. Je 
prends la période + = 2 T’ et je définis o (z) dans la demi-période (0, T°) en 
pòsant ¢(ż) égale à l'unité du signe de ọ(ż) dans l'intervalle (T, T+T°)et en 
annulant ọ(ż) dans les deux intervalles restants. Le coefficient b, s'exprime 
par une intégrale de forme connue, dont le calcul est aisé et donne 
Mbu E A Ta 
v— 1 étant le nombre des changements de signe de ọ(ż) dans la demi- 
période, c’est-à-dire celui des racines d’ordre impair de ọ(t) entre Tet T+T". 
Portons la valeur que nous venons ainsi d'obtenir pour 4 dans (3), il vient 
I 
; 1) F ahonda OEE, 
EA FL PDP TVcos2 x 
4. Je pose a = 7 — T = dans (4) et je fais tendre T vers l'infini. La démon- 
stration résulte de la Ame à de l’ordre d’ infinitude des deux membres. 
Cet ordre est apparent dans le second membre, qui devient infini comme 
vo VT logT. Examinons le premier membre. 
Il se réduit à la somme des intégrales dans les intervalles (T, T + ch 
nt 
(1) L'intégration de la série terme à terme se justifie facilement, parce que les 
sommes partielles sont bornées en vertu d’un théorème de M. Fejér. 
