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de R. Parmi ceux-ci, prenons ceux dont les angles en P font partie de la 
série précédente, et soit z le plus petit des indices correspondants. Ainsi 
les points frontières normaux sont répartis en une infinité dénombrable de 
classes distinctes, dans chacune desquelles.les points P possèdent le même 
indice z. Il suffit donc de démontrer notre théorème pour l’une quelconque 
de ces classes. 
Mais par projection et rotation nous pouvons transformer l'angle n dans 
l'angle 1 pour tous les points P simultanément. Donc il suffit de démontrer 
notre théorème pour la classe 1°. 
3. Or si P est un point frontière normal de la classe 1°, il y aura dans le 
premier angle de P des carrés avec P pour sommet, ne contenant (au sens 
étroit) que des points de R. Nous pouvons donc faire correspondre à P le 
plus petit entiers, tel qu’un de ces carrés ait pour longueur de-ces côtés 2. 
De cette façon les points frontières normaux de la classe 1° seront répartis 
en une infinité dénombrable de sous-classes S,, S,, ..., Sp ...; tous les 
points d’une de ces sous-classes ayant le même entier correspondant PL 
suffit de démontrer notre théorème pour S,. 
Divisons le plan en échiquier par des oies horizontales et Fe à 
distances égales à 2‘. I suffit de démontrer notre tRÉGrEMe pour lés points 
de S; dans un des carrés C de l’échiquier. ` 
Soit T l’ensemble des points et points limites de s,à l'intérieur de C. 
Si P est un point de T, tous les points du carré C dans le premier angle 
de P sont des points intérieurs de R; donc, il n’y en a pas qui appartiennent 
à l’ensemble T. Il s'ensuit que tous les points de T gisent dans le deuxième 
ou lé quatrième angle de P, ou bien sur l'horizontale ou la verticale par P. 
Prenons sur chaque verticale, ayant au moins un point de T, le plus 
haut (x, y) de ces points. Si, entre deux de ces verticales, il n’y a pas de 
points de T, ajoutons sur chacune des verticales intermédiaires le point au 
même niveau que le point (x, y) déjà déterminé qui est le plus proche à 
droite. Nous aurons ainsi un point unique (x, y) pour chaque x, et y sera 
une fonction monotone non décroissante de æ. En ajoutant les segments 
verticaux qui contiennent les autres points de T, nous aurons une courbe 
nón oscillatoire qui contiendra tous les points frontières normaux de 
classe 1° de notre région R dans le carré C. Notre théorème est donc 
démontré. 
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4. Si, au lieu d'une région, nous prenons un ensemble plan quelconque, 
