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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les systèmes triple-orthogonaux, tels qu'un 
système de courbes de Lamé soit formé de lignes sphériques, le lieu des centres 
des sphères qui les contiennent étant une sphère ou un paraboloide de révo- 
lution. Note de M. €. Gurcuaro. 
Soient u, v, œ les paramètres des lignes de Lamé du système; je suppose 
que les courbes u = const., ¢ = const. soient des courbes sphériques. Les 
sphères qui contiennent ces lignes, dépendent de deux paramètres & ét p. 
M. Darboux a indiqué les propriétés caractéristiques de cette congruence 
de sphères (Leçons, 4° Partie, Livre VIH, Chap. XII). Avec mon système 
de notations, les résultats de M. Darboux peuvent s’énoncer aïnsi : La 
congruence de sphères est C; le réseau décrit par le centre des sphères est K. Si 
l’on se donne, a priori, la surface lieu des centres des sphères, il faudra, 
pour trouver la congruence de sphères correspondantes, trouver les 
réseaux K de la surface. C’est un problème que je vais examiner dans les 
deux cas suivants : 1° la surface donnée est une sphère; 2° la surface 
donnée est un paraboloïde de révolution. Je vais d’abord rappeler les 
résultats dus à M. Darboux (loc. cit). Soient M le centre de la sphère; 
Liy Li, Ly les coordonnées de M; £,, £,, £, les paramètres normaux de la 
tangente du réseau M; n,, n:, n, ceux de la seconde; on aura d’abord, 
d’après les formules générales des réseaux : 
dx; DA dE; EA, dh SRE 
(1) ve Aug tenant igp 
EE a us 
On a de plus, par un choix convenable des variables u et v, la relation 
i £ om Qð 
(2) Eh + Era Eos = ST HS 
Avec ce choix de variables, le rayon R de la sphère est 
(3) R= h+. 
1. Cas de la sphère. — Dans ce cas le réseau décrit par M est ùn réseau O. 
Soit 
Ai As y 
Pi P: Pa 
JV TE n 
