SÉANCE DU 13 NOVEMBRE 1916. 551 
donc : 
Si l’on connaît la représentation sphérique d’une surface isothermique, on 
peut déterminer, sous forme finie, une infinité de congruences de sphères 
satisfaisantes, le lieu des centres des sphères étant un paraboloide de révolution. 
Effectüôns sur ces sphères une homothétie ayant pour centre l'origine 
et pour module w*. Les coordonnées y,, Y», y, du centre de la sphère 
seront 
Y= w(a cosy + b sing), Yi (a sing — b cos o), nee + b?) 
èt l’on aüra 
i R€ HEH L. 
D'où le résultat suivant : 
« Soient M le centre, R le rayon d'une sphère qui décrit la congruence 
demandée; si l’on abaisse de M la perpendiculaire MP sur l'axe du parabo- 
loide et si l’on prend sur MP un point M' tel que Ti soit constant; la sphère 
qui a pour centre M' et le méme rayon R qué la sphère M décrit aussi une con- 
gruence satisfaisante. 
La méthode indiquée ne donne rien dansles deux cas suivants : 1° A —ve?, 
B = e° (représentation sphérique des surfaces minima); 2° À = coso, 
B = sin (représentation des surfaces à courbure totale constante), On lève 
la difficulté en faisant intervenir d’autres éléments qüi sé rattachent aux 
surfaces isothérmiques. Danslé cas des surfaces à courbure totale constante, 
on peut indiquer la solution suivante. Soient F le foyer du paraboloïde, E la 
sphère de centre F et de rayon 1; faisons une perspective dé centre F; à 
chaque point M du paraboloïde on fait correspondre un point m de la sphère. 
Cette correspondance transforme un réseau èn un réseau; si maintenänt le 
point m décrit la représentation sphérique d’une surface à courbure totale 
constante, le point M décrira un réseau; le réséau(m) est (C), done la con- 
gruence point Fm sera (C); le réseau (M) découpé sur le paraboloide sera 
un réseau K, ce qui donne une solution. 
Remarque. — La remarque suivante donne une transformation du pro- 
blème, même dans le cas où la surface des centres est une quadrique quel- 
conque Q. Soit (M) un réseau (K) de cette quadrique: il y a o° congruences C 
conjuguées à ce réseau K, soit G l’une d'elles; la droite G rencontre la 
quadrique Q en un second point M’. D’après un théorème de Ribaucour, 
le point M’ décrit un réseau; ce réseau étant conjugué à uñe congruénce C 
est un réseau K. D'où une nouvelle solstion du problème, 
