SÉANCE. DU 20 NOVEMBRE 1916. : bot 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de fonctions ultraspheriques. 
Note (') de M. Erwax» Roëserzranrz, présentée par M. Appell. 
Les polynomes de Legendre, ainsi que les fonctions trigonométriques, 
Q) 
le L A 
sont des cas particuliers des polynomes phériq rthog Pr (2) 
définis par 
> stong) =i 27 + 5] À. 
0 
Le succès de la méthode des moyennes arithmétiques dans des cas parti- 
i Oo ère l’idée d’appli sth a- 
culiers Q = 0, =) 1) suggère l’idée d'appliquer cette méthode de somm 
tion des séries au cas général de À quelconque. 
Soit 
Tén+s) (2) PS Ces 
I ` à) | à sa MA. EE 
(1) JR ET cup (æ) où Cn=(r +2) lin +22) 2t} sd ( p 
| — 
n=0 
La moyenne arithmétique d'ordre à, fP (x), de la série (1) est liée à 
celle de la séric X(n + À)p}(æ), laquelle nous noterons S? (y), par la 
relation 
à +1 +1 j 
AOE f (2) SÈ nr laj truy tel 
a 
ohik) +20) 
On démontre d’abord les deux théorèmes suivants : 
k Lim S? (~) = o uniformément dans l'intervalle o L22727 pour > 2. 
[LR SP (= o pour chaque valeur den et o=y£r, pourvu que à = 2 + E(2)); 
mas si 2 = E(2X), il suffit que à Der + ok 
On déduit de ces théorèmes le résultat cherché : 
Tuéonème A. — La série (1) est sommable [C, è = 2 + E(22)|], où même 
sommable [C, è = 1 + 2) ] si 24 = E(2X), avec la somme 
= [/(æ —0)+ fiz +0)] 
(:) Séance du 13 novembre 1016. 
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