” 
602 ; ACADÉMIE DES SCIENCES. 
partout où cette expression existe; la sommabilité est uniforme dans tout 
intervalle compris dans l'intervalle de continuité de f(x). 
La fonction f(x) n’est supposée sommable que dans (— 1, + 1). 
Le théorème I permet d'établir (') que la série (1) est uniformément 
sommable, |C, à > 2A], avec la somme f(x) dans tout intervalle de conti- 
nuité de f(x), compris dans l'intervalle où f(x) est à variation bornée. 
De même, pour — 1 < x < + 1, elle est sommable, |C, ò>], et unifor- 
mément sommable, [C, à > x], pour [æ|£1r — £ parce que lim Ste 
uniformément pour £y Sv — € pourvu que à > À. 
La démonstration du théorème I repose sur la sommation des séries 
trigonométriques 
Tín À) cos 
> sin E E REO 
les formules approximatives pour la moyenne arithmétique d'ordre à de 
ces séries montrent immédiatement qu’elles sont uniformément som- 
P aa | IN A . ` 
,mables, [C, è> 2À —1], pour $027 —:. On passe maintenant à la 
série Ÿ DA (cosû) au moyen des formules intégrales, qui généralisent les 
tds connues de Mehler pour les polynomes de Legendre (à i z) 
OJE(nr+r) 
2174 F à(n+2à) 
lcos(n + À)9 do = fenetre. 
[cos 9 — coso |!” 
sin?—19 p™ (cos 8) — f 
[cos — cos 0]!=> 
Quant à la série Xon + ì)p? (cosà), elle est le produit des deux séries 
A À (i £ 
Xo + À) ph sfa Xp (cer6)| (it Eens] 
Dans la nées du théorème Il, on part de la formule de. 
Frombeck, 
Z p® (cos) = i sin (+—a)osin(n + 2 ce do 
[2(cos® — cosô)]" 
a sin | [z+ ($-a) g| sin(n + 2 )odo 
[2(co50 — coso )}* 
(no): 
(1) Cuarman, Quarterly Journal (théor. XIL), t. 73, p. 20. 
