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relatives à la courbe entre x et z : 
(2) f(z, 7,2) =0 
[f (x£, y, =)= 0 étant l’équation de la surface de degré m], les Q; étant des 
polynomes en zv, y et z. 
Une courbe algébrique C, étant donnée sur la surface, on considère 
ensuite une intégrale de troisième espèce relative à la courbe (2), ayant 
pour points logarithmiques les points de C;, correspondant à la valeur y, 
avec la période logarithmique un, et en outre un des points à linfini de la 
courbe (2). Désignons cette intégrale par J,, et faisons successivement 
h—1,2,..., À, en posant À—9+1. On peut déterminer les fonctions 
rationnelles a de y, et les constantes c de manière que les périodes, regar- 
dées comme fonctions de y, de l'intégrale relative à la courbe (2) 
(3) aili + azl +... + al + di + EEEREN E A 
ne dépendent pas de y. La considération du groupe de monodromie d’une 
certaine équation différentielle linéaire E, qui a joué un rôle essentiel dans 
toutes mes recherches sur les fonctions algébriques de deux variables, con- 
duit à former le système d'équations du premier degré relatives aux cons- 
tantes P etc, 
(4Y P= miP,+ m, P+... + mi, Pa) + a+ cv +. Hot. (im. API 
pour chacune des substitutions fondamentales du groupe de E (les m, ainsi 
que les œ, v, ..., x, sont des entiers). Si nous prenons pour courbes C, 
les courbes} C,, Ca, .…., Cp et T, l’ensemble de ces équations admettra 
une solution avec les constantes c non toutes nulles. On aura certainement 
à Æ 0; de plus, les rapports des c sont déterminés, car s’il y avait plus 
d’une arbitraire, on pourrait former une intégrale avec les seules courbes 
logarithmiques C,, C;, ..., Cp. On peut donc supposer que les « sont des 
nombres entiers parfaitemeut déterminés. 
Les équations donnant les fonctions rationnelles a&,, az, -.-, Qp de y 
sont 
(5) awit a0} +... + depOil + to P (ici, a, es Ph 
où l’on a posé 
Vi cu} + œu?+...+ ou, 
les w et les v étant les périodes des I et des J, la signification des indices 
étant évidente. 
