SÉANCE DU 27 NOVEMBRE 1916. 639 
L'expression (3) ainsi déterminée permet de former une intégrale de dif- 
férentielle totale 
fRaz+ S dy, 
où R et S sont rationnelles en æ, y et z, ayant les seules courbes logarith- 
miques C,, C,, ..., C}. Elle peut avoir une autre ligne d’infini (non loga- 
rithmique), à savoir la courbe à l'infini de la surface. 
Nous supposerons dans la suite que les cycles (1, 2), (3, 4), ..., 
(2p — 1, 2p) sont les couples de cycles formant les rétrosections classiques 
sur la surface de Riemann relative à f(x, y, z) == o. 
Prenons la somme 
RUE PE Pj — ot (Y, — P;) +oł(Y,— P,) — oÙ(Y,—P,) +... 
qui correspond à une combinaison normale. On voit facilement, à cause 
des relations (4), que cette expression ne change pas, quand on effectue 
sur les w et les u les substitutions correspondant à une circulation de y; 
ceci revient d’ailleurs au fait que les a sont des fonctions rationnelles - 
de y. 
2. Ces résultats antérieurs sommairement rappelés, supposons mainte- 
tenant que la sur face donnée soit régulière, c’est-à-dire qu’elle n'ait pas d'in- 
tégrales de différentielles totales transcendantes de seconde espèce, ou, ce 
qui revient au même, que tous ses cycles linéaires se ramènent à zéro, ce 
qui d’ailleurs est le cas général pour une surface algébrique. Ici les 
rapports des P et des c du paragraphe précédent sont entièrement déter- 
minés ; nous pouvons donc supposer que tous ces nombres sont des entiers. 
e plus, pour les surfaces régulières, les intégrales de première espèce 
de la courbe entre x et z représentée par l’équation /(x, y, :)—0, 
peuvent être prises sous la forme 
fe z) dæ (Fi; à; ss Dh 
les Q représentant des polynomes adjoints d’ordre m — 3 de la surface 
envisagée. 
On va donc supposer que les intégrales I, la, ..., I, précédemment 
envisagées sont de première espèce, les autres [,:,, ..., lp seront de 
seconde espèce. 
