SÉANCE DU 27 NOVEMBRE 1916. 
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Multiplions en effet ces équations respectivement par 
— wk, Hwt, — wt, + w. n M où, + AN 
et faisons la somme. En donnant successivement à A les valeurs 1, 2,:.., 2p,. 
nous obtiendrons un système équivalent au premier. Or considérons les p 
premières de ces équations; elles seront homogènes et linéaires en a,,,,.…., 
åp, Car les coefficients des autres a et les termes indépendants des a sont 
des fonctions uniformes de y, partout holomorphes, et dont le développe- 
ment, dans le voisinage de y = + , commence par un terme en +; tous ces 
coefficients et tous ces termes sont donc nuls. On tire de là immédia- 
tement : | 
die SE Ha EE 0. 
Je dis maintenant que les p premiers a sont des fonctions linéaires et 
entières de y. On peut le voir en recourant à l'analyse de ma Théorie des 
foncuons algebriques (t. II, p. 428 et suiv.), analyse développée pour un 
autre but. La seule A consiste en ce que, dans les équations (5h 
on a les termes en v, mais leur présence ne change rien aux raison- 
nements. piii 
Il résulte de là que nous avons formé une intégrale de différentielle totale 
de troisieme espèce avec une seule période (entière) 
| : 
(a à: | fRdz+Sdy, 
ayant les courbes logarithmiques- (simples) G,,-C:, .…, Cry c'est-à-dire 
devenant infinies d'une manière purement logarithmique suivant toutes ces 
courbes ou quelques-unes d’entre elles (C, étant certainement l'une d'elles), 
el n'ayant aucune autre courbe d’infini (polaire ou Par 
On en conclut que l'expression 
amf Ba 
e (Lo, Yos Sol 
est une fonction rationnelle de (x, y,z). Par suite, l'intégrale (7) est de la 
forme 
Alog T (z, Y, 3), 
T étant rationnelle en (x, y, 3), et A une constante. 
4, Soit maintenant 
(8) : L= [Pdz + Qdy 
