SÉANCE DU 4 DÉCEMBRE 1916. 689 
muns, il existe au moins un ensemble Z qui contient un élément et un seul 
de chaque ensemble E qui appartient à M. 
Mais c’est un cas particulier de cet axiome qui joue un rôle abs] dans 
beaucoup de questions d'Analyse moderne : c’est le cas où l’ensemble M 
est dénombrable ; nous le nommerons, pour abréger, l’axiome A. 
Voilà quelques théorèmes dont la démonstration s'appuie sur cet 
axiome. 
Nous dirons qu’une fonction f (x), définie dans un intervalle (a, b), est 
continue au point æ, de cet intervalle au sens de Cauchy, si pour tout 
nombre positif existe un nombre positif à tel que l'inégalité 
(1) æ — x < à 
entraine pour tout nombre æ de l'intervalle (a, b) l'inégalité 
(2) f(x) —f (xo)12 € 
Nous dirons, d'autre part, qu’une fonction f(x), définie dans un inter- 
valle (a, b), est continue au point x, de cet intervalle au sens de Heine si, 
pour toute suite infinie x, des nombres de l'intervalle (a, b), la formule 
lim, = æ 
n= © 
entraine la formule 
lim J (2) = f (%0). 
La démonstration que les définitions de continuité d’une fonction en un 
point au sens de Cauchy et au sens de Heine sont équivalentes s’appuie 
sur l’axiome A. Plus précisément, pour démontrer l’équivalence de ces 
deux définitions, il faut et il suffit d'admettre l’axiome suivant : 
… Pour toute suite infinie des ensembles de nombres réels X,, Xa, X,, …, 
sans points communs, existe au moins une suite infinie de nombres réels 
Li, Ly, Liy.: dont les termes correspondant aux indices différents appar- 
tiennent toujours aux différents ensembles X,,. 
Remarquons qu’on peut démontrer sans l’axiome de M. Zermelo qu'une 
fonction continue au sens de Heine dans un intervalle tout entier est dans 
cet intervalle continue au sens de Cauchy et réciproquement (‘). La même 
(+) Cela résulte de la remarque que x, étant donné dans l'intervalle (a, b) et f(x) 
étant continue dans (a, b), pour démontrer l'inégalité (2) pour tous les nombres æ 
de (a, b) satisfaisant à l'inégalité (1), il suffit de la démontrer pour tous les x ration- 
nels de (a, b) satisfaisant à l'inégalité (1). 
