690 ACADÉMIE DES SCIENCES. 
remarque s'applique aux deux définitions de la dérivée en un point d’une 
fonction continue, analogues aux deux définitions de la continuité. 
Si l’on appelle « fonction de la première classe » toute fonction limite des 
fonctions continués (la suite correspondante supposée existante, mais pas 
nécessairement effectivement donnée) et fonction de la deuxième classe 
toute fonction limite des fonctions de la première classe, la démonstration 
que toute fonction de la deuxième classe est une limite itérée des fonc- 
tions continues s’appuie sur l’axiome A. 
Soit, en effet, f(x) =lim/f,(zx) une fonction limite d’une suite de fonctions de la 
A 
première classe. Pour tout indice n il existe donc au moins une suite infinie fn, (x) des 
fonctions continues telle que lim fp (x)= f,(æ). Mais nous ne savons pas faire 
k=% 
correspondre à toute fonction de la première classe f, une suite bien déterminée des 
fonctions continues /f,,, telle que lim f,x=—/f, (pourvu que fha ne soit pas donnée 
n= © 
effectivement comme limite pour k= æ d’une suite fa, des fonctions continues). Il 
faut donc; pour former la suite double fp x, faire une infinité de choix arbitraires. 
La démonstration du théorème de M. Lebesgue, que l’ensemble somme 
d’une infinité dénombrable d'ensembles mesurables est un ensemble mesu- 
rable ('), s'appuie sur l’axiome A. 
En effet, M. Lebesgue commence sa démonstration comme suit : «Soient E;, Ez. .. 
des ensembles mesurables, en nombre fini ou dénombrable, n'ayant deux à deux 
aucun point commun, et soit E l’ensemble somme. On peut enfermer E; dans une 
infinité dénombrable d'intervalles a; et Cag ( E;) dans les intervalles 6; de manière que 
la mesure des parties communes aux g;et B; soit égale à z;; les s; étant des nombres 
positifs choisis dè manière que la série Xe, soit convergente et de somme £s.» 
Ce raisonnement fait appel à l’axiome A, car pour tout ensemble mesurable E; et 
tout nombre positif c; existe une infinité de couples des ensembles dénombrables 
d’intervalles 2; et 5, tels que E; est enfermé dans les intervalles æ; et Cas (E;) dans les 
intervalles ĝ; dé manière que la mesure des parties communes aux æ; et B; soit égale 
à &, et nous n'avons aucune méthode qui ferait correspondre à tout ensemble 
mesurable E; et tout nombre positif s; un couple déterminé. Il faut donc faire une 
infinité de choix, c'est-à-dire appliquer l’axiome de M. Zermelo, 
On pourrait citer beaucoup d'autres propositions d'Analyse moderne 
qu'on ne peut démontrer que par le moyen de l’axiomé A. Ily en a, comme 
on sait, beaucoup d’autres, pour lesquels ne suffit pas l’axiome À, Mais - 
qui font appel à l'axiome de M. Zermelo dans sa forme non dérombrable. 
AE RO a 
(') H. Leseseue, Leçons sur l'intégration, p. 107, Paris, 1904. 
