SÉANCE DU 4 DÉCEMBRE 1916. 691 
Citons seulement l'existence des fonctions non mesurables (L) et leyis- 
tence des fonctions mesurables (L) de fonctions continues qui sont non 
mesurables (L). 
THÉORIE DES NOMBRES. — Sur les formes de Dirichlet et sur les substitutions 
loxodromiques du groupe de Picard, Note de M, Gasrox Juria, présentée 
par M. Emile Picard. 
Nous avons montré dans une précédente Note (20 novembre 1916, 
p: 599) que si la forme de Dirichlet 
axŸ+afzy + yy? (a, B, y entiers complexes) 
était telle que norme (8? — æy) soit carré parfait, il existait une substitution 
modulaire hyperbolique conservant la forme. La réciproque est aisée à 
démontrer. Si z, et z, sont les points racines de la forme précédente, et si 
cette forme est conservée par la substitution hyperbolique S 
(s= AEA ad — be 1), 
3, et z, seront les points doubles de la substitution et l’on pourra l'écrire 
Ai o E T oY 
De là se tirent les égalités 
21 — 3, (A —1)61%s IA Ami — 5 
d’où se conclut 
HS etes te 
Or © Azri 3, — 1)estun nombre rationnel complexe, et AT an nombre 
réel; on voit donc que (2, — z,) a même argument qu'un nombre rationnel 
complexe. Or la condition que norme (8? — ay) soit carré parfait, équivaut 
(par l'étude de l’équation classique a? + $? = y? en nombres entiers réels) 
à dire que (8? — ay) doit étre de la forme At? ou Att? (A étant un entier 
réel, £ un entier complexe, d’ailleurs quelconques), et l'expression 
S e ve- ms 
2 x 
