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x étant rationnel complexe, montre que les deux conditions : 
i3 norme (B? — æy) = (carré parfait) 
et 
9° arg (3, — 3,) = (argument d'un nombre rationnel complexe) 
sont complètement équivalentes; d’où la réciproque annoncée, A ce point 
de vue on peut diviser les formes de Dirichlet en trois classes : 
° Les formes générales pour lesquelles norme (8? — ay) n’est pas carré 
AP Le groupe cyclique infini de substitutions ARE qui les con- 
serve est formé de substitutions loxodromiques pour lesquelles le multi- 
plicateur = re” a un argument ù incommensurable à 27. Ces formes 
engendrent des corps biquadratiques. 
2° Les formes pour lesquelles norme (8? — ay) est carré parfait sans 
que (B?— ay) lui-même le soit. La substitution modulaire génératrice du 
groupe cyclique qui les conserve a un multiplicateur K — re dont lar- 
gument Ô est commensurable à 27 [o = -a (petn entiers) |. Ces formes 
engendrent des corps simplement quadratiques. 
3° Les formes à racines rationnelles correspondant à (8° — ay) carré par- 
fait d’un entier complexe. Ce sont des formes banales. 
Il reste à déterminer dans le deuxième cas toutes les valeurs possibles de 
l’entier n. Une pareille étude est l’étude des substitutions loxodromiques du 
groupe de Picard, car les substitutions hyperboliques ou loxodromiques de 
ce groupe correspondent aux formes de Dirichlet et inversement. En consi- 
dérant donc la substitution S 
as + b 
C3 + d 
P mes 
pe 
(ad — be = 1), 
on sait que son multiplicateur K est donné par 
— K{(a+d)}}—2]+1—=0o. 
De plus, la forme 
3 
cx? +(d—ajxy — by? 
dont les racines sont les points doubles de > doit être supposée de la 
deuxième pan - 
norme [(a +d)?— 4] = carré parfait. 
Posant a + d = u, il faudra donc que l'entier u soit tel que u? — 4 soit de 
