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En remplaçant A,, par cette valeur dans l'expression a, en posant p = 2m, 
q = 2n et remarquant que les termes, où m ou n est pair, s’annulent, on 
obtient l'expression annoncée. 
La solution ci-dessus suppose la convergence de toutes les séries uli- 
lisées. On démontre facilement que, lorsque a et b sont finis, les termes 
des séries de la forme trouvée pour w sont absolument convergentes quand 
le degré du dénominateur est >> 2. Car le terme général est inférieur à des 
termes dans un rapport fini, inférieur à une valeur fixe, avec (p + g)='. En 
réunissant les termes pour lesquels p + q = const., on arrive à des sommes 
dont la plus grande est dans un rapport fini, inférieur à une valeur fixe, 
avec (p -+ g)*. La série Zu-* est absolument convergente ainsi que sa 
dérivée, donc celles qui forment w et les dérivées premières de w le sont. 
On voit facilement qu’il en est de même du second terme de (b) après la 
substitution de la série. Le raisonnement fait dans ma précédente Commu- 
nication (p. 663) montre que cette série ne peut différer de la quantité 
qu’on a cherché à représenter. Il est légitime de dériver une fois, les coeffi- 
cients sont donc rigoureusement déterminés. | 
Si l’on calcule la flèche au centre, on voit qu’elle est formée d’une série à 
termes tous positifs comme dans le cas de la plaque uniformément chargée 
et identiques. Le facteur P : « est remplacé par © : 4 dans le cas de la 
charge uniforme, la flèche au centre est donc quatre fois plus grande, 
quand la charge y est concentrée, que lorsqu'elle est répartie sur toute la 
plaque (comme dans la plaque circulaire encastrée) ('). Il résulte des 
études de Navier et de Saint-Venant que, dans le cas des plaques rectan- 
. , R : 
gulaires posées, ce rapport est seulement qa 2,4074. 
Remarque. — Les termes des séries relatives à la plaque rectangulaire 
encastrée, soit qu'elle soit uniformément chargée, soit qu’elle soit chargée 
d’un poids unique, sont tous positifs puisque tout cosinus est inférieur en 
valeur absolue à l'unité; donc tous les points se déplacent dans le sens 
d'action de la charge. | 
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(*) Note par de Saint-Venant dans la traduction de l'Élasticité, de CLEBSCH, p- 738 
(Dunod, 1883). 
