SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE 1916. 973 
GÉOMÉTRIE. — Sur une construction de la sphère osculatrice et du rayon de 
torsion en un point de la courbe d'intersection de deux sur faces données. 
Note (') de M. S. Maxeror. 
Je considère deux surfaces données S,, S, et un point O de leur inter- 
section C où elles aient des plans tangents distincts et connus. Je me pro- 
pose d'indiquer un mode de construction du rayon de torsion T et du 
centre I de la sphère osculatrice de la courbe C au point O. 
n étant l’un quelconque des deux nombres 1, 2, soient OA la tangente 
à C au point O; Og,, la normale en ce point à la surface Sp; g,, le centre 
de courbure, en ce même point, de la section de cette surface par le plan 
des deux droites OA, Og,; w, la projection de O sur la droite g, g,. 
Le point w est le centre de courbure de la courbe C au point O, et le 
point F appartient à la droite g, g,, axe de son cercle de courbure. 
J’envisage la section c, de la surface S, par le plan osculateur w OA de 
la courbe C, la conique osculatrice de cette section au point O, et le 
point a, de OA qui est le pôle, par rapport à cette conique, de sa normale 
en O. Soient P un point de la droite OA infiniment voisin de O, et M, le 
point de 5, qui se projette sur cette droite au point P. La longueur PM, 
est une fonction dé OP dont la dérivée troisième a pour limite une quan- 
tité #, qui admet cette double interprétation géométrique : au signe près, 
elle est égale à trois fois Finverse du rectangle des deux longueurs Ow, 
Oa,, et elle représente le rapport de la longueur lg, au produit de T 
par Oo . Si elle est nulle, on a T g, = 0, Oa,==+. Quand les deux quan- 
tités ?,, #, sont l’une et l’autre différentes de zéro, suivant qu’elles ont le 
même signe ou des signes contraires, les deux points O, F sont en dehors 
des segments 4,4,, g,g, Ou sur ces segments eux-mêmes. En rassemblant 
ces résultats, qu’on peut vérifier, on est conduit aux formules suivantes 
Oa, x Oa, 
ME PER nt À 
PAPA 
3T x Oo = Fe, x Oa=Tg x Ou gigs 
.qui donnent une MR immédiate de T et de T lorsque l’on connaît 
les quatre points g,, Z2, 4, 
Que, b., ba, b; étant trois Sani de ig normale principale Ow de C tels 
(1) Séance du 11 décembre 1916. 
