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lexpression 
4 I x 
(2) +f dief 
"Y 
soit bornée. On voit de suite que si f(x) est, comme le demande Dirichlet, 
une fonction à variation bornée, ces conditions sont remplies toutes deux. 
3. Cependant, par sa nature méme, la condition de M. de la Vallée Poussin 
ne peui pas former une étape dans une suite continue de critériums en partant 
de la condition de Dirichlet. Quant à la mienne, il n'y a rien qui empéche de 
remplacer la première puissance de x par une puissance positive x quelconque, 
la condition de Dirichlet apparait alors pour q = o. 
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Cette proposition se vérifie lorsqu'on cherche à y appliquer le raison- 
nement de la Note citée plus haut. En effet, on n'y trouve rien à changer 
qui mérite la peine d’être relevé. Jl est ainsi permis de poser la condition plus 
générale que l'expression 
(3) + f lea (20) 
soit bornée. On voit aussi que si cette condition est remplie pour un certain 
nombre gq, elle l’est de même pour toute quantité plus grande. 
4. Quant à la condition de M. de la Vallée Poussin, on peut ajouter 
qu'elle ne fait partie d'aucune telle suite de critériums, même discrète; 
elle est, de ce point de vue, isolée. On ne peut pas y remplacer l’expres- 
sion (1), par exemple, par la suivante 
# 
(4) | LES edela; 
c'est-à-dire, on ne peut pas répéter le procédé par lequel on tire la con- 
dition de M. de la Vallée Poussin de celle de Dirichlet. Ceci résulte de la 
structure intime des séries de Fourier et de la nature de leur convergence. 
En effet, il ne suffit pas de constater que la série de Fourier d’une fonc- 
tion à variation bornée est convergente; la convergence est plus forte que 
d'ordinaire. La série converge déjà par les moyennes de Cesäro d’indice 
négatif > — 1. Or, pour que la série de Fourier de f(x) soit convergente 
en un point donné, il suffit que /(x) vérifie une certaine condition dans le 
voisinage du point. Pour qu’elle converge davantage, c’est-à-dire avec 
