SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE 1916. 977 
indice négatif, la condition principale dans le voisinage du point doit être 
renforcée; aussi faut-il une condition accessoire sur /(æ) au dehors de ce 
voisinage. Dans le cas de Dirichlet et dans le mien, la condition principale 
est d'elle-même assez forte; pour assurer la convergence avec indice 
négatif >—1, on n’a qu’à ajouter la condition accessoire que /(æ) soit 
à variation bornée hors du voisinage considéré. 
La condition de M. de la Vallée Poussin au contraire, et même la condition 
. >C kg 2A 4 
classique que FI C } soit sommable, ont l'avantage d’être dépourvues 
a » 
d’un tel élément, superflu du point de vue de la convergence ordinaire; elles 
suffisent pour atteindre leur but, mais l’adjonction d’une condition acces- 
soire ne leur permet pas de le dépasser. L'opération qui conduit de la 
condition de Dirichlet à celle de M. de la Vallée Poussin entraîne une 
diminution de l'intensité de convergence; répétée, elle doit donc conduire 
à une plus forte diminution. L'expression (4) ne pourrait alors entrer dans 
une condition de convergence que par les moyennes de Cesäro d'indice 
positif. 
C’est la perte d'intensité de la convergence qui explique l'impossibilité (*) 
de généraliser la condition de M. de la Vallée Poussin dans la manière 
en question. D’autre part, ce qui rend possible la généralisation de la 
mienne, c’est le fait qu’une telle perte n’a pas lieu dans ce cas. 
5. Ilest entendu dans ce qui précède que /(x) est non seulement bornée, 
propriété contenue implicitement dans la condition (3), mais aussi qu’elle 
est simplement discontinue à l’origine. Cependant on peut remplacer cette 
condition par une autre, plus générale, en ne demandant l’existence-de la 
limite quand + s'approche de zéro, que de l’une des deux fonctions, par 
‘exemple, 
i- I a T 
à J fiæ)de, af da fi [(æ) de. 
Pour le voir, il est préférable d'employer la méthode directe, déjà 
adoptée dans mon premier Mémoire sur ce sujet (1911). Cette méthode est 
aussi plus logique et plus conforme à ce que j'ai dit dans la Note du 
(:) Il n’est pas dit qu'il soit impossible de généraliser la condition de M. de la 
Vallée Poussin en la prenant elle-même comme point de départ. 
C. R., 1916, 2° Semestre. (T. 163, N° 26.) 127 
