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De là résulte qu'en cas de doute sur la validité d'un 
raisonnement, il y a toujours un grand avantage à réduire 
les questions à l'analyse pure, pour échapper à la tentation 
de confondre des faits révélés par l'expérience seule (et 
qui peut-étre ne sont qu'approximatifs) avec des vérités 
démontrées, ou, si l'on veut, avec des conséquences pure- 
ment logiques de faits antérieurement acceptés. 
Les traités de mathématiques, méme de mathématiques 
appliquées, ne peuvent pas étre de simples catalogues de 
vérités expérimentales; une fois quelques faits posés, on 
démontre par le raisonnement l'existence d'autres vérités 
qui en dépendent; mais quand il s'agit de prouver des 
faits que l'expérience journalière nous montre comme 
presque évidents et se rattachant aux notions premières, 
le sens mathématique, méme le plus incontestable et le 
plus développé, n'a pas toujours suffi pour éviter les erreurs 
de raisonnement; et l'on a vu, par exemple, des géométres 
justement célébres donner, de bonne foi, dans leurs 
ouvrages, de prétendues démonstrations du postulatum 
d'Euclide, lequel, on le sait aujourd'hui, ne peut pas se 
démontrer, et doit étre, ou bien adopté sans démonstra- 
tion comme un fait expérimental simplifiant la géométrie, 
ou bien rejeté comme douteux et superflu, mais alors au 
prix de grandes complications, et pour aboutir à des for- 
mules équivalentes à celles de la géométrie usuelle, dans 
les limites de nos moyens de mesure. 
La cause qui rend si difficile la distinetion du vrai et 
du faux, dans la démonstration des faits que l'on est habitué 
à considérer comme évidents par l'expérience journalière, 
à été résumée par M. Bertrand en ces termes (6) : 
* La géométrie... conserverait, méme aprés ce succés 
(Cest-à-dire aprés la démonstration du postulatum d'Eu- 
