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» Développe-t-on le second membre suivant les puissances de €, on 
trouve que le développement procède, par le fait, suivant les puissances 
du produit ne, qui cesse d’être une petite quantité pour les valeurs no- 
tables de n. 
» Si l’on représente le développement de l'intégrale du second membre 
par 
n+i 
—— € 
U, +ü, — 
+ u 
à Pen ra 
on peut démontrer que u, < U, Lu; L... 
» Peut-être y aurait-il lieu, à cause de cela, de faire des réserves sur les 
coefficients des inégalités à longue période obtenus en prenant les termes 
du plus bas degré fournis par le développement ordinaire de la fonction 
perturbatrice. | 
» IT. Cauchy développe cette fonction par rapport aux sinus et cosinus 
de l’une des anomalies excentriques y’, l’autre anomalie Ÿ recevant des 
valeurs particulières (nous laissons de côté la transformation des anoma- 
lies excentriques en anomalies moyennes). Il ne reste plus qu’à exécuter 
une série de quadratures mécaniques, au lieu d’une double série comme 
Le Verrier. Mais si l’on remarque que le carré de la distance mutuelle des 
deux corps ne varie pas essentiellement de forme quand on prend, au lieu 
des deux arguments 4 et 4’, la différence. — 4 et l'un d'eux, et que la 
distance mutuelle est seulement fonction de y — y’ quand les excentri- 
cités et l’inclinaison relatives sont nulles, il est indiqué d'introduire cette 
différence. 
» IH. Pour développer suivant les sinus et cosinus de 4 — 4’, on fait 
usage, avec Cauchy, de la série de Legendre 
b 13. tint a" 
4 14... .4n VI 0? 
1 I a? 1:3 1-3 a E NA 
X | I — - —— — + 5 nr A aan a a E 
22n+2 1— a? 2.4 (2n +2) (2r + 4) (1—2? 
Spécialement appropriée au calcul des coefficients de Laplace quand n 
est grand. Toutefois cette série n’est pas convergente pour les valeurs 
de « œ0,707; on ne pourrait donc pas l'utiliser dans la théorie des per- 
turbations de Vénus et de la Terre où 4 = 0, 723332. J'ai réussi à établir 
que la série de Legendre, ou même la série plus générale qui donne 
I 
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