du problème sont satisfaites, si 
(1) Tru > cp der. 
UEa) 
Lis Za» =. Am étant définis par les relations suivantes 
= (ue t) 
(n° m) 
où p, désigne une fonction arbitraire de la seule variable æ,. Pour le second 
système, qui correspond au précédent comme il est exigé, l'intégrale des. 
forces vives s’obtient sans peine; elle ne renferme que les carrés des diffé- 
rentielles dæ,, dx,, ..., dæ. 
» 2° Je considère une forme quadratique > e;n dx; day, à M—1 Vä- 
(i; ro m—1) 
riables æ,, æ,, ...,æ,., et dont les coefficients ne contiennent que ces 
variables. L'expression suivante 
(2) 2 Cik dx; dx, + de, 
(5 mi) 
vérifie les conditions du problème ; la forme quadratique associée se réduit 
à celle-ci, où la constante C est arbitraire, 
C > Cik dx; dx +- dass 
(ik Smi) 
si l’on a égard au nombre des intégrales distinctes qu’on en sait obtenir, ce 
cas est exceptionnel. 
» 3° Toutes les trajectoires, après un choix approprié des variables, 
deviennent des droites. Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suffisant 
que la force vive du système soit réductible à la forme 
$ & 72 r 2 
(3) ťa s 
dt? dt? di? 
fi sn g - a ; 
les variables X,, X., ..., X,., étant liées par la relation 
2 
» 
(4) A Xit X mn Const 
» Cette proposition contient la réciproque d’un théorème énoncé par 
M. Beltrami. Sans connaître les variables qui permettent d'exprimer T sous 
la forme (3), où s'assure de leur existence par des opérations algébriques 
et différentielles, et les trajectoires s’obtiennent en intégrant des équations 
