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différentielles linéaires. L'expression (3) se ramène immédiatement à 
celle-ci 
dx? Hs 4 
(5) 2T= 5 + sin, a 
EPA Los D is dry 
++ SIND, SIND, SIN Uni 7 ? 
où toutes les variables sont indépendantes. A l’aide d'une transformation 
que j'ai signalée dans une Note antérieure (Comptes rendus, 23 mai 1892), 
on en conclut alors ce qui suit : 
» Quelles que soient les variables au moyen desquelles est exprimée la 
force vive d’un système matériel, soumis à l’action de forces qui dérivent 
d’un potentiel, il est aisé de voir s’il existe une transformation telle que, 
après l'avoir appliquée, l'expression des forces vives soit donnée par la 
formule 2T = 2 = i et le potentiel par la relation U = 
(2m) 
jointe à la condition (4). En ce cas, l'intégration dépend d'équations dif- 
férentielles purement linéaires et cette proposition est vraie, même si la 
constante de l'énergie est regardée comme arbitraire. 
» En indiquant, dans la Note citée plus haut, un moyen simple de 
réduire les équations du mouvement d’un système, quand les forces déri- 
vent d’un potentiel, à celles qui conviendraient à un autre système, sans 
forces, j'avais signalé que les résultats obtenus dans la recherche des inté- 
grales ou des invariants de ces derniers systèmes s'étendent ainsi aux pre- 
miers, sans déterminer la constante de l'énergie. 
» M. Painlevé a vu dans cette remarque un essai de démonstration 
d'une partie du théorème qu'il avait précédemment énoncé (Comptes 
rendus, 11 avril 1892), et à laquelle ne s'applique pas directement la mé- 
thode dont j'ai fait usage. Je me contenterai de faire observer qu'il n’est 
besoin d'aucune transformation nouvelle pour établir le théorème dont il 
s’agit et le complément qu’il comporte. Si l’on considere, en effet, un sys- 
tème matériel S, pour lequel l'intégrale des forces vives existe, on peut, 
en lui appliquant le principe de la moindre action, s'assurer que, pour une 
valeur infiniment grande attribuée à la constante de l'énergie, les trajec- 
toires sont infiniment voisines de celles qui répondent au même système, 
TOn à des forces nulles. Ces lignes étant désignées par (g), je suppose 
qu'il y ait un système S’, associé à S avec conservation des trajectoires. 
» Parmi ces dernières figure alors l’ensemble (g); il répond à une 
valeur infiniment plus grande de la constante des forces vives, ou bien à 
une valeur déterminée %', qu'on peut calculer. Dans le premier cas, les sys- 
tèmesS et S’, lorsqu'on annule toutes les forces, sont associés de la manière 
Er À 
Vi Ve 
Xo Y Xa 
