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indiquée; dans le second, il suffit d'appliquer au système S’ le principe de 
la moindre action, après avoir égalé à Æ% la constante de l’énergie : le sys- 
tème géodésique, qui lui est ainsi substitué, possède les relations demandées 
avec les équations géodésiques, attachées au système S. Celles-ci appar- 
tiennent en conséquence à la classe que nous avons étudiée. 
» La proposition que j'ai ajoutée à celle de M. Painlevé est donc exacte, 
non pas seulement, comme le suppose M. Painlevé, quand toutes les forces 
sont nulles, mais au moins dans tous les cas où les forces dérivent d’un 
potentiel. | 
» Je reviens à la question générale, définie dans les premières lignes de 
cette Note et, pour abréger, je conviens de dire qu’une forme quadratique 
est de rang m, si, remplissant les conditions du problème, elle contient m 
différentielles. Ceci admis, lorsqu'on possède, avec une forme de rang m, 
une relation F(x,,æ,,...,æM,«) = 0, vérifiée par quelques-unes des tra- 
Jectoirés correspondantes, il est clair qu’on en sait déduire une forme, de 
rang M — i, où la Constanté arbitraire « figure éomme ün paramètre. Ce 
lien, entre deux formes dé rangs consécutifs, peut être utilisé en vue d’étu- 
dier l’ensemble des solutions du problème proposé; c’est un point que 
j'éfaminéerai dans un autré travail. » 
GÉOMÉTRIE. — Sur une série récurrente de pentagones, inscriptibles à une - 
même courbe générale du troisième ordre, et que l’on peut construire par le 
seul emploi de la règle. Note de M. PauL SERRET. 
& Que l’on imagine, dans le plan, une suite indéfinie de pentagônes 
RS NS ra, a 
dérivés linéairement les uns des autres, ou du prémier d’entre eux, suivant 
cette loi conimune que chacun d’eux se trouve doublement inscrit à celui 
qui le précède et au pentagone étoilée de mêmes sommets que celui-là : 
d’où il suit, par exemple, que le sommet 1’ du premier pentagone dérivé 
se trouvera sur le côté 34, opposé au sommet homologue 1 du pentagone 
initial, et au point dé rencontre de ce côté avec la diagonale opposée 5a: 
(6) F0, = > 13: SR 
et l’on aurait de même 
5 TE De. 2"—= 5 13: ie, 
et ainsi des autres. 
