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» Oron trouve d’abord par le calcul, et l’on vérifie aisément par la Géo- 
métrie, que les sommets 1, 2, ..., 53 1,2", ..., 5' des deux premiers pen- 
tagones font toujours dix points d’une même courbe du troisième ordre; de 
quoi il suit aussitôt, en premier lieu, que deux pentagones consécutifs 
quelconques de la série sont toujours inscriptibles à une même courbe de 
cet ordre. Mais ce fait analytique qui, réduit à ces termes, n'offrirait qu'un 
intérêt médiocre, se relève ici de cette particularité remarquable, que 
toutes les courbes circonscrites se confondent : tous les pentagones de la 
série se trouvant, dès lors, inscrits à une seule et même cubique. 
» De plus, et par une propriété qui pourrait servir de vérification, les 
pentagones de la série, pris de trois en trois, par exemple, le premier, 
12...5, et le troisième, 1”...5”; le deuxième, 1”...5’, et le quatrième, 
1"...5", devront se trouver deux à deux en perspective suivant autant de 
centres distincts d’'homologie ù, w, o”, ..., situés encore sur la courbe, et 
déterminant sur celle-ci une serie tangentielle; de telle sorte que chaque 
nouveau centre d’homologie représente le tangentiel du précédent. Le 
point o n’est autre, d’ailleurs, que la dernière trace de la courbe sur la 
conique 12345; le point o’, la dernière trace de la courbe sur la conique 
1'2",..5/; et ainsi des autres. 
» Ajoutons que nos pentagones successifs forment, à leur tour, une 
série tangentielle ; les sommets de l’un quelconque d’entre eux ayant pour 
tangentiels les sommets homologues du pentagone suivant, D'ailleurs, 
tous ces pentagones, qui se trouvent séparés les uns des autres par des 
intervalles finis, peuvent être conçus comme appartenant à une série 
continue, et plus générale, embrassant tous les pentagones simultanément 
inscrits à la courbe et circonscrits à leur pentagone tangentiel. De tels 
pentagones dépendant, en effet, comme on va le dire, d’un paramètre à, 
et les abscisses de leurs sommets pouvant être conçues, dès lors, comme 
racines d'une résolyante du 5° degré dont les coefficients dépendraient 
de À, il résulte, de la construction &néaire ci-dessus, qu’il existera une 
infinité de valeurs du paramètre pour lesquelles toutes les racines de la 
résolvante seront commensurables. 
` > Tous ces résultats sont, d’ailleurs, compris dans les deux observa- 
tions suivantes : 
» 1. Soit une courbe générale du troisième ordre, définie partiellement 
par la donnée d’un pentagone inscrit 12345; dépendante dès lors de 
quatre paramètres et pouvant être assujettie à quatre conditions complé- 
mentaires quelconques. 
