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AU + B ~ + f . , li ` ke 
en aÙ +6: Ces deux premières transformations s'appliquent à un sys 
LA 
tème (1) quelconque. 
d * ai : 
5 30 S est une simple fonction des qi, qui n'est pas une constante 
i : 
dt 
(5) e, = (Que. ga) 
» Les équations (1) et (2) déduites de (1) et (2) en annulant les Q; et 
les Q, sont alors correspondantes, et par la même transformation (5), 
laquelle fournit un correspondant au système (1) quels que soient les Q;. 
Si les Q; sont nuls, ce cas est le seul possible et les Q; sont également nuls. 
J'ai montré que les équations (1) et (2y admettent dans cette hypothèse 
au moins une intégrale du second degré distincte de celles des forces 
vives, mais il n’en est pas ainsi, en général, des équations (1) elles-mêmes, | 
lors même qu’il existe une fonction de forces U. 
» 4° Les Q; dérivent d’un potentiel U et l’on a' 
2 2 
(6) dea o aii 
aU + p Xt In +, di) 
.» Ce cas se ramène aussitôt au précédent à l’aide de la transformation 
de M. Darboux et ce que nous venons de dire s'applique à condition de 
changer T en («U + B)T. 
» 5° La relation (3) n’a aucune des formes énumérées. Les équations (1) 
admettent alors une intégrale du deuxième degré, qui n’est pas celle des forces 
vives. Dans ce cas, qui est le cas général, nous signalerons plusieurs cir- 
constances particulières : quand les Q; dérivent d’un potentiel U, et quand 
on à 
(7) d = que Gus -s Ga) ds — (x, U, + 8) dé], 
on rentre dans le troisième cas en appliquant aux équations (2) la trans- 
formation de M. Darboux qui change T, en («, U,+£,)T,. Si maintenant 
U et U, existent à la fois et si l’on a 
ds? x ds? 
2 D 2 1 
(8) dt? — US = Hdi Vis rx) | dé = : 
ce que nous avons dit dans le troisiême cas subsiste à condition de changer 
T en (aU+B)TetT, en (a U, + 6,)T, par le même procédé. 
» J'ajoute que l'existence de la fonction U n’entraîne nullement celle de U,- 
Dans le cas très particulier où U et U, existent à la fois, soient A et h, les 
