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constantes des forces vives pour (1) et (2), les trajectoires obtenues en 
donnant à À une valeur constante mais arbitraire correspondent nécessai- 
rement à toutes les valeurs de A, ('); le contraire ne peut avoir lieu que 
pour des valeurs particulières de h, soit °, qui sont telles que les trajectoires 
pour À — A et A, = A? coïncident (A; désignant un certain nombre). De 
tels couples h°, h? n'existent pas en général; pour qu'il en existe, i faut et il 
suffit que la relation (3) soi de la forme (8), qui se réduit à la forme (7) si 
h° est infini, à la forme (6) si À} est infini, à la forme (5) si 2° et A! sont 
infinis. Ces différents cas se ramènent aussitôt au troisième cas. 
» M. Liouville pensait avoir retrouvé et complété ce théorème, dans le 
cas où U existe, par une autre méthode qui, en réalité, ne s’appliquait qu'au 
cas où les forces sont nulles. Dans ce dernier cas, il a montré que les équa- 
tions (1) ne peuvent admettre de correspondantes sans admettre un sys- 
tème complet d’intégrales du deuxième degré. J'ai déjà signalé que ce 
théorème trouvait son application aux équations (1) et (2) dans le troi- 
sième cas [et, par suite, dans les cas (6), (7) et (8) qui s’y ramènent]. 
Dans une Note du 12 septembre, M. Liouville affirme de nouveau qu'il est 
très facile de compléter mon théorème dans tous les cas où il y a une fonc- 
tion de forces U : d’après lui, si le ‘système (1) admet un correspondant, 
le problème des géodésiques relatif à T admet un système complet d'in- 
tégrales du deuxième degré. Ce théorème n’est pas exact : pour le dé- 
montrer, observons que M. Liouville admet a priori que U, existe en 
même temps que U, ce qui n’est pas vrai, en général; mais même dans 
le cas où il en est ainsi, le raisonnement de M. Liouville est inadmis- 
sible, parce qu’il suppose que les trajectoires qui correspondent à une 
valeur donnée de À (la valeur æ) correspondent aussi à une valeur con- 
stante de #’, ce qui n’est vrai que moyennant les hypothèses très parti- 
culières que j'ai signalées plus haut. Pour n'avoir plus à revenir sur cette 
ie je citerai, en terminant, l'exemple suivant : le système (r) où 
on a 
T=(2°+ y") et U = y +2, 
et le système (2) où l’on a 
I f 2 | 
T= |e (1+ $E) -hwy Z + y] et = Àà+# 
somme 
L} 
1 . PE ? 
() Je laisse de côté la transformation de M. Darboux dans laquelle U et U, existent 
toujours et où l’on a 
ahi + B 
h = =a 
G: R; 1892, 2° Semestre. (T. CXV, N° 15.) 67 
