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Em ne varie pas avec m, et laxe de déviation pour m = 2 
n’est autre que la droite joignant le point M à l’origine des axes coor- 
donnés. 
» 2. De même pour les surfaces AX” + A, X? + AX; + A,X; = 0, les 
fonctions X étant quelconques et les quantités A des paramètres. Pour 
une valeur de l’exposant m, il y a une seule surface S„ tangente en un 
point M à un plan P, pourvu que le point M ne soit pas situé sur une des 
surfaces X, = 0. Si l’on connaît les éléments du second ordre pour deux 
surfaces Sm, on en déduira par des équations du premier degré les élé- 
ments du second ordre en M de la surface Sm, pour toute valeur de l'ex- 
posant m. 
» Lorsque les fonctions X; sont entières et du premier degré, les indi- 
catrices de Dupin des surfaces S„ sont homothétiques, au point de contact 
commun M. 
» Lorsque les surfaces X, = o sont des sphères, toutes les surfaces Sm 
ont mêmes sections principales au point M. » 
produit 
MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur le mouvement d’un fil dans l’espace. 
Note de M. G. Froquer, présentée par M. Darboux. 
« Étant donné un fil flexible et inextensible, soit s l’abscisse curviligne 
d'un quelconque M de ses points, comptée sur le fil à partir d’un point 
déterminé, et soit m le produit de l’épaisseur du fil en M par la densité en 
ce point, épaisseur et densité qui peuvent varier avec s. Je supposerai que, 
ndépendamment de la force appliquée à chaque extrémité du fil et qui 
doit y équilibrer la tension, chaque élément matériel m ds soit sollicité par 
une force extérieure donnée Fm ds, et je désignerai par T la tension en M 
à l’époque z, tension qui est une quantité positive. 
» Je vais former certaines équations aux dérivées partielles qui, dans 
plusieurs cas importants, permettent une étude facile des mouvements 
possibles du fil dans l’espace. Lorsque le mouvement a lieu dans un plan, 
ces e se réduisent d’ailleurs à celles données par M. Resal dans ce 
cas (13. 
» Considérons la courbe figurée par le fil à l'époque £, le point M du 
fil et le trièdre dont les arêtes Mx, My, Mz sont respectivement la tan- 
gente positive, la normale principale dirigée vers le centre de courbure, 
RS Note 
(') Traité de Mécanique générale (t. I, p. 321 et suiv.). 
