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positive de x. Pouvons-nous, à l’aide des approximations ives, obtenir 
un développement en série de ces intégrales valable pour toute valeur 
positive de x? On peut montrer qu'il en est bien ainsi, mais la démonstra- 
tion est assez délicate. De ce que Um, Pms ..., Ym Ont des limites (ce qu’on 
reconnaît de suite), il ne s'ensuit pas que ces limites doivent nécessaire- 
ment coïncider avec les intégrales w, ¢, ..., w. Voici le principe de la dé- 
monstration : soit un intervalle quelconque (0, a). J’envisage les quotients 
u — u; pee y F7 — i 
mme a —— 3 ne | TO Y 3 ŘŘŘŮŘĖ © 
u p æ 
» Quand x reste dans l'intervalle précédent, ces fonctions de x restent 
comprises entre zero et un nombre gq plus petit que l'unité [on suppose 
Ji(o, 0,0, ...,0)<o]. On peut alors établir, en s'appuyant sur lhypo- 
thèse relative aux dérivées premières des f, les inégalités 
a a W = Wn L wg", 
et le théorème devient évident. La serie 
(2) U, + (Us — U) +. + Un — Um) Hs 
et les séries analogues représentent, pour toute valeur positive de æ, les inté- 
grales cherchées. Citons, comme exemple, l’équation 
= A(e)y + B (2) EE + (a) | 
en désignant par A, B, C des fonctions positives de x, pour + > o, les deux 
premières restant inférieures à un nombre fixe. 
» Il s'en faut que nous puissions énoncer la même conclusion, si nous 
ne faisons pas sur les dérivées de J l'hypothèse relative à la décroissance. 
Sans doute, nous sommes encore assuré que les séries (2) convergent 
Pour toute valeur positive de æ, mais, sauf pour æ assez petit, il est 
extrèmement probable que ces series convergentes, déduites des équations diffe- 
rentielles, ne représentent pas les intégrales. On peut seulementaffirmer que, 
si les séries (2) sont uniformément convergentes dans un intervalle (o, a), 
elles représenteront les intégrales dans cet intervalle. 
? Des circonstances plus curieuses encore peuvent se présenter en 
faisant sur les f une hypothèse contraire. Supposons que ces fonctions 
toujours positives aillent cette fois en décroissant quand 4, ,..., w aug- 
sa à partir de zéro. En faisant les approximations successives, les 
termes à indices pairs ont une limite et les termes à indices impairs en ont une 
