CSF.) 
Ums Vms ++. Wm CONVergeront certainement vers des limites qui formeront le 
système d'intégrales cherchées dans l'intervalle (0, b), sib satisfait aux inéga- 
lités 
M4 
ee tire, = 
bre (ESA ETATS 
Mo+|5<L, 
b? 
(x Hora) Po (B, Fo F Bei 
De plus, parmi les intégrales qui satisfont à nos conditions aux limites et 
pour lesquelles d’ailleurs |u| < L et | w |< L', le système trouvé est unique. 
» 4. Le théorème général, que nous venons d’énoncer, donne pour 
les séries un champ de convergence qui est souvent trop restreint. On peut 
dans bien des cas avoir un champ de convergence plus étendu, ce qui est 
très important pour l'étude de certaines intégrales. Prenons, par exemple, 
‘équation 
dy 
do 
+ f(&,Y) = 0. 
» Je suppose que la fonction f(x, y) croisse constamment quand y 
augmente et que la dérivée f; aille, au contraire, en décroissant; de plus, 
on a identiquement 
f{æ, 0)=0; 
Ei elehan i etatene intégrale de cette équation, continue ainsi 
que ses dérivées, s’annulant pour x = 0 etæ = b et qui ne soit pas identi- 
quement nulle. 
» La réponse est très précise; on peut déduire de l'équation précédente 
deux nombres + et £ tels que, si 
a a b < 6, 
= y aura une intégrale et une seule de l’ équation, toujours positive et s'annu- 
ant pour x = o et x = b. Si b < «x, l'intégrale ne peut être qu’identique- 
ment nulle et quand b > 8 une intégrale ne peut pas garder un signe inva- 
riable dans l'intervalle (o, b). 
» Si l'équation obtenue en changeant y en — y présente les mêmes 
caracti f: i initi ) 
: actères que 1 équation initiale, on peut suivre de proche en proche 
0 . r j ’ . 3 4 5 
ute intégrale et les séries successives qui la représentent convergent 
entre deux racines consécutives. 
ý $ - Le * ; . ` m * 
' : + Un Cas particulièrement intéressant est celui où la fonction /(æ, y), 
sa ti it périodi 
'stasant aux conditions du paragraphe précédent, serait périodique par 
