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rapport à æ et de période wœ. Dans des cas très étendus, on a alors des solu- 
tions asymplotiques à y = o, c’est-à-dire des solutions qui, pour æ positif et 
très grand, se rapprochent indéfiniment de y = o. D'ailleurs, en général, 
ces solutions sont distinctes de celles que M. Poincaré désigne sous ce nom 
et que l’on peut, comme on sait, représenter par des séries d’exponen- 
tielles à coefficients périodiques à partir d’une valeur suffisamment grande 
de x. 
» Le cas des solutions périodiques appelle nécessairement l'attention: 
Voici à ce sujet un théorème d’une application facile. Supposons que, pour 
la fonction f(x, y) de période w par rapport à æ, on ait 
f(x, Y)= fe — æ, y), JC, y) = — f(x, — y). 
Si les deux nombres « et £, déduits de l’équation, comprennent entre eux 
D l'équation admettra une solution périodique de période œ. Cette intégrale 
w k A 
s’annule pour æ = o, - et les valeurs homologues. Indiquons un exemple 
numérique très simple : l'équation 
"A roem 
VEE 
où nous regardons les coefficients comme admettant la période 27, ad- 
mettra une intégrale (non nulle identiquement) ayant cette même période. 
» 6. La plupart des résultats précédents s'étendent à un nombre quel- 
conque d'équations. Pour simplifier, supposons que nous n'ayons que 
deux équations et que la variable indépendante n’y figure pas. Soit donc 
dy Eo cone 
da? t a n LF + Fr a ROS 
dy 
TX +S) = 0: 
dz 
dx + ® (y; z) 0: 
» Les fonctions f et + s’annulent pour y = z = o, elles croissent quand 
y et z augmentent, tandis que leurs dérivées du premier ordre décroissent. 
De plus, la plus grande racine positive de l'équation en S 
df “cp 
5 dz 
g = O 
ds d g2 ; 
dy ds 
qu'on peut regarder comme fonction de y et z, est supposée décroissante 
quand y et z augmentent. Dans ces conditions, on pourra déterminer deux 
