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ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Sur les intégrales algébriques de l'équation 
différentielle du premier ordre. Note de M. L. AuTonxE, présentée par 
M. Jordan. 
« Soit H l'équation différentielle du premier ordre 
F(x,y, y’) =o, 
F désignant un polynôme. Continuant et généralisant mes recherches pré- 
cédentes (Comptes rendus, 16 mars et 9 novembre 1891, 22 février 1892), 
Je suis parvenu à constituer une théorie des intégrales algébriques de H 
ou, ce qui revient au même, une théorie des intégrales algébriques G, 
tracées sur la surface $, qui représente H, en vertu de mes conventions 
habituelles. 
» Appelons nœud tout nodal (voir pour la définition du point nodal sur 
# ma Note du 9 novembre 1891) dont l’exposant est égal au quotient de 
deux entiers positifs ; tout nodal qui n’est pas un nœud sera un col. 
» La surface $ la plus générale de son degré N possédera 
N(N?—2N +2) 
cols tous distincts; aucun exposant ne sera ni nul, ni infini. Alors le degré 
de toute courbe indécomposable G, intégrante algébrique tracée sur $, ne peut 
dépasser le plus grand entier |N] contenu dans la fraction 
N(N°+6N+r:r:1) 
3(N+2) 
» G n'a d’autres points multiples que des points doubles à tangentes sépa- 
rees; ces points sont tous en des cols de $; les deux tangentes sont les deux 
asymplotes de l’indicatrice de $ au col considere. | 
» Appelons pour la courbe gauche G 
n le degré; 
p le genre; 
i le nombre des points doubles, tous cols de f; 
-le nombre des cols de #, points simples de G. 
} : ‘ . + Si 
' Les quatre entiers n, p, Š, k soht assujettis aux conditions 
(1) 
| n(N—2)=2(p—1)+4 + a, 
(2) 
RN+iISEN(N' + GN +11) +p +. 
