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en considérant une famille de géodésiques et leurs trajectoires orthogo- 
nales. 
» L'un des rayons de courbure géodésique, MG, est infini; par suite, 
la parallèle à Mæ, menée par G’ reste normale à une surface qui est pré- 
cisément la seconde nappe focale des tangentes aux géodésiques consi- 
dérées. 
» Maintenant, supposons que le système orthogonal soit formé des 
lignes de courbure, et appelons G, C’ les centres de courbure principaux. 
» On démontre aisément, d’une façon analogue, la proposition sui- 
vante : 
» THÉORÈME ÍI. — Pour qu'une droite telle que CG, qui joint un centre de 
première courbure principal au centre de seconde courbure géodésique, en- 
gendre une con gruence de normales, il faut et il suffit que les courbures const- 
dérées soient fonctions l’une de l’autre. 
» Application. — Soit une surface à lignes de courbure circulaire dans 
un système. On peut la considérer comme enveloppe de sphères dont le 
centre décrit une courbe, le rayon étant une fonction de l'arc de la courbe. 
» Appelons (y) un cercle de courbure. Son centre de courbure géo- 
désique G est précisément le sommet du cône circonscrit à la surface le 
long de (y): 
» D'autre part, pour tous les points M de ce cercle, les centres de cour- 
bure géodésique du second système sont situés sur la caractéristique (A) 
du plan du cercle. 
» Ceci posé, on voit que, pour que les courbures géodésiques soient 
fonctions l’une de l'autre, il est nécessaire et suffisant que l’arête MG soit 
Constante. 
» Soit donc : MG =a. 
: » Le rayon des sphères enveloppées est alors déterminé par l’équa- 
Ion s 
VETE LL 
VERT MHk, 
qui donne, en effectuant la quadrature, 
a o 13. a a+ R— a 
Le 
2 Va+R'+a 
» š `; 
e L application des deux théorèmes précédents va nous fournir deux 
propriétés geométriques de ces surfaces qui, chacune, les distinguent des 
