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Betti, dans le tome IV, 2° série des Annali di Matematica, a retrouvé et 
complété les résultats de Riemann. Considérant une surface (variété à n 
dimensions) dans l’espace à n+ 1 dimensions, il a défini z — 1 nombres 
Pis Pas ses Pn-1 
qu'il appelle les n — 1 ordres de connexion de la surface. 
» Les personnes que rebute la Géométrie à plus de trois dimensions 
pourraient croire ce résultat sans utilité et le regarder comme un vain jeu 
de l'esprit, si elles n'étaient averties de leur erreur par l'usage qu’a fait des 
nombres de Betti notre confrère M. Picard dans des travaux d'Analyse pure 
ou de Géométrie ordinaire, 
» La question n’est pas épuisée cependant. On peut se demander si les 
nombres de Betti suffisent pour déterminer une surface fermée au point 
de vue de l’Analysis situs, c'est-à-dire si, étant données deux surfaces fer- 
mées qui possèdent mêmes nombres de Betti, on peut toujours passer de 
l’une à l’autre par voie de déformation continue. Cela est vrai dans l'espace 
à trois dimensions et l’on pourrait être tenté de croire qu'il en est encore de 
même dans un espace quelconque. C’est le contraire qui est vrai. 
» Pour nous en rendre compte, je vais envisager la question à un point 
de vue nouveau, Soient x,, æ,, ..., æ,,, les coordonnées d'un point de la 
surface; ces n +1 quantités sont liées entre elles par l'équation de la sur- 
face. Soient maintenant 
Teor 
p fonctions quelconques de ces z + 1 coordonnées x (coordonnées que je 
suppose toujours liées par l'équation de la surface et auxquelles je conviens 
de ne donner que des valeurs réelles). 
» Je ne suppose pas que les fonctions F soient uniformes, mais je sup- 
pose que si le point (x,, æ,, ..., æ,,,) décrit sur la surface un contour 
fermé infiniment petit, chacune des fonctions F revient à sa valeur primitive. 
Cela posé, supposons que notre point décrive sur la surface un contour 
fermé fini, il pourra se faire que nos p fonctions ne reviennent pas à leurs 
valeurs initiales, mais deviennent 
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ou, en d’autres termes, qu’elles subissent la substitution 
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(ELE ...9 Fp; Fi Kas s.s F,). 
