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» Toutes les substitutions correspondant aux divers contours fermés que 
l’on peut tracer sur la surface forment un groupe qui est discontinu (au 
moins en ce qui concerne sa forme). 
» Ce groupe dépend évidemment du choix des fonctions F; supposons 
d’abord que ces fonctions soient les plus générales que l’on puisse imaginer 
en ne s'imposant pas d'autre condition que celle que nous avons énoncée 
plus haul; et soit G le groupe correspondant. Soit G’ le groupe correspon- 
dant à un autre choix de ces fonctions; G’ sera isomorphe à G, holoédri- 
quement en général, mériédriquement dans quelques cas particuliers. 
» Le groupe G peut donc servir à définir la forme de la surface et s'ap- 
peler le groupe de la surface. Il est clair que si deux surfaces peuvent se 
transformer l’une dans l’autre par voie de déformation continue, leurs 
groupes sont isomorphes. La réciproque, quoique moins évidente, est 
encore vraie, pour des surfaces fermées, de sorte que ce qui définit une sur- 
face fermée au point de vue de } Analysis situs, c’est son groupe. 
» Nous sommes donc conduit à nous poser la question suivante : Deux 
surfaces fermées qui ont mémes nombres de Betti ont-elles toujours des groupes 
isomorphes ? 
» Pour résoudre cette question en nous servant d’un mode de représen- 
tation simple dans l’espace ordinaire, nous supposerons qu'il s'agisse de 
définir une surface dans l’espace à quatre dimensions seulement. Consi- 
dérons pour l’espace ordinaire un groupe G proprement discontinu. L’es- 
pace se trouvera ainsi décomposé en une infinité de domaines fondamen- 
taux, transformés les uns des autres par les. substitutions du groupe, Je 
suppose que le domaine fondamental ne s’étende pas à l'infini et qu'aucune 
substitution du groupe ne laisse inaltéré aucun point de l’espace. 
» Soient alors 
RTS G 
quatre fonctions des coordonnées æ, y, z de l’espace ordinaire, inaltérées 
par les substitutions de G. Si l’on considère X,, Xs, X,, X; comme les 
Coordonnées d’un point dans l’espace à quatre dimensions, ce point décrira 
une surface fermée dont le groupe sera isomorphe à G, holoédriquement 
si les fonctions X sont les plus générales qui soient inaltérées par G. 
» Considérons; en particulier, le groupe dérivé des trois substitu- 
tions 
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(e; yis GI 1,2), 
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