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question un peu différente : lexistence de l'intégrale des torces vives était 
toujours supposée, mais la constante de l'énergie était regardée comme 
arbitraire. 
» La proposition que j'avançais est inexacte, d’après M. Painlevé, et 
cela pour deux raisons. La première, c’est qu’il n’arrive pas toujours que, 
l’un des deux mouvements associés admettant l'intégrale des forces vives, 
il en soit de même pour le second. Quand cela n’arrive pas, il est clair que 
le problème n’est pas de ceux que j'avais en vue, puisque j'ai supposé : 
1° que l'intégrale des forces vives existe. 
» Les deux problèmes que j'ai associés ont été traités d’une façon entiè- 
rement symétrique dans toutes ces recherches et rien ne peut donnér à 
penser que j'aie fait pour l’un d’eux une hypothèse qui n’ait pas été faite 
pour l’autre. Je n'avais donc aucun besoin d'admettre que, si les forces 
sont dérivées d’un potentiel pour l’un des deux mouvements, il en est né- 
cessairement de même pour le second. C’est un théorème que M. Pain- 
levé me prête, en le contestant. | > 
» Mais, en adoptant même l'hypothèse que j'ai faite, la proposition 
avancée serait inexacte et, pour le démontrer, M. Painlevé cite un exemple 
qui mettrait en défaut la méthode dont j'ai fait usage. 
» Je ferai remarquer d’abord que, si l'exemple dont il s’agit échappe 
aux considérations que j'ai présentées, on ne peut cependant l’opposer au 
théorème énoncé, car il y satisfait évidemment, et tout autre exemple où 
le nombre des variables ne surpasse pas 2 serait aussi peu concluant. 
Quand on considère alors les deux problèmes associés, il peut arriver que, 
l'énergie h ayant une valeur donnée pour l’un d'eux, il lui corresponde dans 
l'autre toutes les valeurs possibles et non pas une valeur déterminée, #”. 
“3 Cette circonstance exige une discussion spéciale, sans introduire une 
difficulté véritable. Comme, d’ailleurs, le théorème était déjà démontré 
Pour tous ces cas, je n’avais pas à en faire l'objet d’une étude particulière. 
Dès que le nombre des variables est supérieur à 2, la circonstance 
signalée ne peut se présenter; les cas où, à une valeur donnée de Å, cor- 
respondraient toutes celles de 4 n'existent pas, et voici sommairement 
Comment on s’en assure. 
» Les équations des trajectoires peuvent être mises sous la forme 
(1) dla, da,da; = X (p#,dx;— pindar) dx,dæy, 
(n,n') 
ndiquée dans une Communication précédente (Comptes rendus, 25 avril 
