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si les deux tangentes se confondent), on devra distinguer les trois cas 
suivants : ; 
» 1° Lorsque la tangente de rebroussement a, avec la courbe, un contact 
effectif du premier ordre seulement, le cercle osculateur, c’est-à-dire le 
cercle ayant un contact effectif du second ordre, a son rayon nul; la 
courbure est alors infinie. 
» 2° Lorsque la tangente de rebroussement a, avec la courbe, un contact 
effectif du second ordre, et du second ordre seulement, un cercle quel- 
conque, touchant la courbe au point de rebroussement, la rencontre en 
quatre points coincidant avec le point double, c’est-à-dire a avec elle un 
contact effectif du second ordre. I y a alors deux cercles ayant avec la 
courbe un contact effectif du troisième ordre ou d’un ordre plus élevé; 
ces cercles sont en général distincts, et leurs rayons ne sont jamais nuls 
ou infinis. 
» 3° Lorsque la tangente de rebroussement a, avec la courbe, un contact 
effectif d’un ordre supérieur au second, un cercle quelconque, touchant 
la courbe au point de rebroussement, a avec cette courbe un contact ef- 
fectif du second ordre seulement. 11 n’y a plus qu’un seul cercle oscula- 
teur dont le rayon ne soit pas en général infini; ce cercle a un contact 
effectif du troisième ordre, ou d’un ordre plus élevé dans des cas parti- 
culiers. 
» 3. Lorsqu'une courbe possède un point multiple d'ordre p, et que les 
tangentes en ce point sont distinctes, il y a p cercles qui, touchant séparé- 
ment chacune des branches de la courbe, ont avec celle-ci un contact ef- 
fectif du second ordre, c’est-à-dire la rencontrent en (p+ 2) points coïn- 
cidant avec le point multiple. 
« Si une des tangentes au point multiple a, avec la courbe, un contact 
effectif d'un ordre supérieur au premier, le rayon de courbure corres- 
pondant est infini. : 
» 4. Une courbe ayant un point multiple O, d'ordre p, on suppose que 
l des tangentes viennent à coïincider avec une droite T; on admet, en 
outre, que les polaires du point O, ayant pour ordres respectifs p, p+1, 
P+2, P+3.., p+l— 2, p+l—1, p+{, renferment respectivement 
et au moins l, [—1, {[— 2, [—3,..., 2, 1, o droites coïncidant avec la 
tangente T. Ceci admis, un cercle quelconque, touchant en O la droite T, 
rencontre la courbe en (p+ {) points coïncidant avec O, c’est-à-dire a avec 
elle un contact effectif du /*’* ordre. 
» Il y aura / cercles osculateurs correspondant à cette tangente, c'est-à- 
