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dire Z cercles qui, touchant en O la droite T, auront avec la courbe un 
contact effectif du (L+ 1)*"* ordre ou d'un ordre plus élevé. Aucun de 
ces cercles n'aura son rayon nul; mais il pourra arriver que plusieurs 
aient leur rayon infini. 
» 5. Une courbe ayant un point multiple O, d'ordre p, l des tangentes 
viennent à coincider avec une droite T; on suppose en outre que, parmi 
les polaires du point O dont les ordres respectifs sont p, p+1, p+2,……, 
P+i…, p+j,.…, p+l-—1, p+l, toutes ne renferment pas respec- 
tivement l, l— 1, l—2,..., l—i,..., lj, 2, 1, o droites coïnci- 
dant avec la droite T; ainsi, par exemple, les polaires dont les ordres 
sont (p+i), (p+j), (p+k), [i<j<k<I], renferment respectivement 
(l—i—i,),(1 — j —j,),(1— k — k,) droites seulement coïincidantavecT, an 
lieu d'en renfermer (Z— i), (1—j), (1—4k). Dans-ce cas, un cercle quel- 
conque, touchant en O la droite T, aura avec la courbe un contact effectif 
de l’ordre ({— à,), si i est le plus grand des nombres i,, Ji, Á. Il y aura 
alors į cercles ayant un contact effectif d’un ordre plus élevé, et les rayons 
de ces į cercles seront nuls. 
Surfaces. 
» 6. Lorsqu'une surface possède un point multiple O, d'ordre p, et 
qu'un plan sécant tourne autour d'une génératrice fixe G du cône tan- 
gent, le lieu des centres des cercles osculateurs en O à la branche de 
courbe qui touche cette génératrice est un cercle situé dans un plan perpen- 
diculaire à la droite G et touchant en O le plan tangent au cône suivant 
cette génératrice. Le théorème de Meunier est donc encore vrai dans le 
cas d’un point multiple; le plan sécant doit tourner alors autour d’une 
tangente proprement dite en ce point multiple. Si la génératrice G est une 
des p(p+1) tangentes inflexionnelles de la surface S en son point mul- 
tiple, le lieu des centres est la droite de l'infini située dans le plan per- 
pendiculaire à cette génératrice. 
» 7. Lorsqu'une surface possède un point double de rebroussement co- 
nique (ou point double biplanaire), un plan quelconque passant par l’axe 
de rebroussement OZ, c'est-à-dire l'intersection des deux plans tan- 
gents ZOT,, ZOT,, coupe la surface suivant une courbe ayant un rebrous- 
sement en O; OZ est la tangente de rebroussement. La courbure en ce 
point de la courbe de section est infinie; il y a exception pour trois direc- 
tions du plan sécant; dans ce cas, il y a deux cercles osculateurs : ces 
cercles ont avec la courbe de section un contact effectif du troisième ordre. 
» Lorsque le plan sécant tourne autour d’une droite fixe OA située dans le 
C. R., 1869, 1°" Semestre. (T. LXVIII, N° 5.) 18 
