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plan tangent ZOT,, par exemple, le lieu des centres des cercles oscula- 
teurs en O et touchant la droite OA est un cercle; ce cercle touche le 
plan ZOT, etest dans un plan perpendiculaire à OA. Si la droite OA est 
une des tangentes inflexionnelles de la surface S situées dans le plan ZOT,, 
le lieu des centres est la droite de l'infini située dans le plan perpendicu- 
laire à OA. 
» Le lieu des centres des cercles osculateurs en O pour toutes les sections 
planes de la surface S est une surface du dixième ordre, qui se décom- 
pose en deux surfaces du cinquième ordre T et T,; pour chacune des sur- 
faces T et T,, l’origine O est un point quadruple (quadri-planaire); elles 
passent toutes deux par les cercles imaginaires de l'infini. Le cône des 
directions asymptotiques se compose du cône imaginaire (x?+ y? 7?=— 0) 
et de plans respectivement perpendiculaires aux tangentes inflexionnelles 
de la surface S relatives au point O. 
» 8. Lorsqu'une surface S possède un point double O de rebroussement 
plan (ou point double uni-planaire), les tangentes proprement dites à la 
surface en ce point sont dans un même plan que je nomme plan de re- 
broussement; ce plan coupe la surface suivant une courbe ayant un point 
triple en O; soient T,, T,, T, les tangentes en ce point triple. 
» Quand un plan passe par le point O, le cercle osculateur en O à la 
courbe de section est un cercle de rayon nul, c’est-à-dire que la courbure 
est toujours infinie tant que le plan sécant ne passe pas par une des tan- 
gentes Takala 
» Lorsque le plan sécant passe par une de ces tangentes, T, par exem- 
ple, un cercle quelconque touchant en O la courbe de section a, avec 
cette courbe, un contact effectif du second ordre, c’est-à-dire la rencontre 
en quatre points coïncidant avec O; il y a alors deux cercles osculateurs 
ayant avec la courbe en O un contact effectif du troisième ordre. 
» Lorsque le plan sécant tourne autour de la tangente T,, par exemple, 
les centres des cercles osculateurs proprement dits décrivent une courbe 
située dans nn plan passant par O et perpendiculaire à la droite T,; cette 
courbe est du quatrième ordre, elle a un point de rebroussement en O; les 
points circulaires sont des points doubles. La courbe en question se réduit 
à deux cercles, si la droite T, résulte de la superposition de deux des tan- 
gentes au point triple de la section de la surface par le plan de rebrous- 
sement. 
» 9. Lorsqu'une surface possède un point double de rebroussement 
plan, et que le plan de rebroussement coupe la surface suivant une courbe 
