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GÉOMÉTRIE, — Sur le nombre des droites qui satisfont à quatre conditions données. 
Note de M. Hacpnen, présentée par M. Bertrand. 
Parmi les droites qui satisfont à deux conditions données, combien y 
en a-t-il qui satisfassent à deux conditions nouvelles? En cherchant à résou- 
dre ce problème, je suis parvenu au résultat suivant. Si M et N sont les 
nombres trouvés en particularisant de deux manières différentes le second 
couple de conditions, celui que l’on trouvera dans tout autre cas est de 
la forme 4M + PN, x et $ étant des nombres qui ne dépendent pas du 
premier couple de conditions. L'objet de cette Note est la AOnRres 
de ce théorème, 
On voit immédiatement qu’on n’augmente ni ne diminue la généralité 
de la proposition en particularisant les deux couples de conditions qui, 
joints successivement au premier, donnent lieu aux caractéristiques M et N. 
Je supposerai donc que pour l’un de ces couples: « Les droites sont dans un 
» plan donné », et pour le second : e Les droites passent par un point 
» donné », et je désignerai par p. etv les caractéristiques correspondantes. 
Cela posé, on verra aisément que le théorème énoncé peut être mis 
sous celte forme : 
Le nombre des droites qui satisfont à deux couples de conditions dont 
les caractéristiques sont u, y et p,, v,, est égal à pu, + Yv. » 
Je vais démontrer ce théorème. 
Soient 
x 
=< 
fear tb rhea 
les équations d’une droite, et 
(1) -Sla b, cid) o, Ya, bed =» 
deux équations auxquelles satisfont ses paramètres. Supposons d’abord que 
ce sont des équations générales de degré m et m’. La condition que la droite 
soit dans un plan (Ax + By + Cz=1) est exprimée par les deux équa- 
tions linéaires 
(a) A+Ba+ Cc= o, Bb+Cd—=:. 
La condition que la droite passe par un point est aussi exprimée par deux 
équations linéaires. Donc les caractéristiques sont 
=y = mm’. 
» Cherchons les droites situées dans un plan perpendiculaire à l'axe 0x. 
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