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On les obtiendra en donnant à a etb des valeurs infinies ayant un rapport 
fini. Les équations (1) donneront, pour c et d, mm’ systèmes de valeurs 
infinies ayant des rapports finis. En sorte que les droites cherchées sont les 
intersections du plan proposé avec mm’ plans parallèles. Ces mm’ droites se 
confondent donc avec la droite à l'infini du plan coordonné 207. 
» Si l’on suppose deux autres conditions : 
(2) ,—=0, Y, =, 
qui soient des équations générales des degrés m,, m; , les caractéristiques 
de ce couple de conditions sont u, = v, = m,m}, et la droite à l'infini du 
plan zoy compte pour m, m/ droites du système. 
» Si l’on suppose en même temps les quatre conditions (1) et (2), cette 
droite compte pour mm'm, m; solutions du problème. De plus, les quatre 
équations (1) et (2) déterminent mm m,m; systèmes de valeurs des para- 
mètres, c’est à-dire ce nombre de droites. Le nombre total des droites 
cherchées est donc o mmm, m = bu, + vy.. 
» Supposons actuellement que les conditions (1) soient des équations 
particulières des degrés m, m’. Cherchant à déterminer u, on tire des équa- 
tions («) la valeur de c en fonction de a et celle de d en fonction de b, et 
l'on substitue ces valeurs dans les équations (1). Les courbes planes repré- 
sentées par ces équations, où a et b sont censées des coordonnées recti- 
lignes, se coupent en mm points; et, si u est inférieur à mm’, c’est que les 
coordonnées de quelques-uns de ces points sont indépendantes de A, B, C. 
Il y a donc des systèmes de valeurs de a et b telles, qu'elles satisfont aux 
conditions (1), quelles que soient les valeurs de c et d. 
» Soient a, et b, les coordonnées de ces points constants, et w le nombre 
de points communs aux deux courbes pour lequel il compte. Toutes les 
droites contenues dans le plan 
Va d, k Ab, 
comptent chacune pour w droites satisfaisant aux conditions (1). Il peut 
exister plusieurs pareils plans (P), parallèles aux axes oz ou oy, et l’on 
aura 
ua mm' -X o. 
» On verra d’une manière analogue que la caractéristique » ne peut dif- 
férer de mm’ que par suite de l'existence de points fixes (M) tels, que 
toutes les droites qui passent par l’un d’entre eux comptent chacune pour 
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