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» Il est, au reste, facile de voir, en se servant des formules de change- 
ments de coordonnées (*), que si les quantités (9) ë, , € sont nulles pour 
les axes x, y, Z, elles le sont pour tout autre système rectangulaire, et que 
généralement elles se composent, se décomposent et se transforment de la 
même manière que les rotations ou les vitesses angulaires dans les solides 
invariables. 
La question, comme on voit, de la possibilité de regarder (2) 
u dx + vdy + wdz comme différentielle exacte à trois variables, ou de 
prendre les relations (3) entre u, v, w, est la même que celle de savoir s’il 
n'y a, dans la masse qui s'écoule, aucune de ces rotations qui sont définies 
par (9). 
4. Rappelons maintenant les démonstrations données de la proposition 
exprimée par (1), ou (2), ou (3) dans les cas ordinaires du mouvement des 
bo 
» Lagrange, depuis longtemps, en a B une dont Poisson a contesté 
la rigueur. 
» Cauchy, en 1816, a démontré d’une manière rigoureuse un théorème 
plus général, et trop peu remarqué, bien que donnant une première intégrale 
générale des trois équations différentielles ordinaires et connues de l’hydro- 
dynamique. Ce théorème revient à ce que chacune des trois quantités č, n,$ 
définies par (9) est, à un instant quelconque, égale à la somme des produits 
de ce qu’elles étaient initialement pour la même molécule, par les dérivées 
de sa coordonnée actuelle de même rang, prises par rapport à ses trois coor- 
données initiales (**). 
mr en 
5 Lecons sur L’Élasticité, de M. Lamé, g 18, p. 45 (1852). 
(**) C'est-à-dire que si Éo, n0, Los Los Yos Zo expriment les valeurs initiales de ce dont £, n, &, 
x, y, z représentent les valeurs au bout d’un temps quelconque, l’on a, pour un fluide in- 
compressible : 
Te dx Fr 
is RS T, 03 
dy dy 
(a) + PT M 
ee) Pa 
a An o Mo A 
et qu'on a les mémes égalités pour un fluide compressible en divisant le second membre par 
le déterminant sextinôme : 
dx dy dz dx ‘dz d 
(à) D cd à Ne 
dr) dy, di, da; dyi di, 
Cauchy le démontre en prenant d’abord x,, Yo, Zo et le temps ż pour variables indé- 
