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kd ` r , 11» WE . siy 2 
» D'où résulte qu’un élément sans rotation moyenne initiale wen acquerra 
pas, ou que si le mouvement considéré part du repos ou bien d’un état 
dans lequel la condition (3) d’intégrabilité de u dx + v dy + wdz se 
trouve remplie, elle le sera pour les mêmes éléments matériels, pendant 
toute la durée du mouvement. 
pendantes; en sorte qu’on a, 3 exprimant généralement, par rapport à ¿, une différentielle 
complète où se rapportant au même point occupé dans l’espace, et, p, p, X, Y, Z désignant 
la pression, la densité et les trois composantes de la force extérieure agissant sur l’unité de 
volume : 
_— 77 
p dz, AT dx dx, dy dr, dz dx, 
H dx à d:v\ dy dav \ dz 
={X— -— | — Yy — — | — e Véres de 
( dt dx 52 ( dt ) dx, r (z dt | dr, 
4 
1 dp 1 /dp dx dp dy dp dz ) 
(c) 
D'où, si X dx + Ydy + Zdz est une différentielle exacte — d 9, et si l’on construit deux 
autres équations comme celle-ci : 
hji ide dt oo bede ird, od daga dhosdécon ao ap 
hilen ddi diydans: dédaiios dét dus dre 14 7 bipi oid 
retranchant la seconde, différentiée par z,, de la troisième, différentiée par 7,, les 
d'x 
dyd" disparaissent, et Pon peut écrire ainsi ce qui reste : 
dt 
—_ _ — — 
— — —— —— — — — — =. i u 
(e) de (F dx ‘du dx dv dy F æ dy Uw dz dw dz \ = 
dz; dy, ‘dy, ds ” dz, dy, “dy; ds, da dh dy,da) 
Le sextinôme entre parenthèses est, comme on voit, indépendant du temps, et sa valeur 
actuelle est égale à sa valeur initiale pour le même point matériel. Mais on a 
(£) du du dx du dy du dz du du 
= — p — — p — — nt e 6 e + 
da  dxdr, dydy did dy, BE 
RL a PAS MES Lo 
uant et ecrivant — 2E au lieu de FPE E et ainsi des autres, on obtient l’équa- 
i Z +4 
ton rS où é, représente la valeur initiale de £, et par conséquent de son premier 
Membre ; ` 
(8) (LS = ot (Re ZENH (EL TE) 
dns. ddl Are 214) ga ad 
De cette équation du premier degré à trois inconnues Ë, n, €, et de deux autres semblables 
ayant pour seconds membres n, et &, l’on tire, en les résolvant, et eu égard à ce que le dé- 
'erminánt Sextinôme (b) est — 1 lorsque le fluide est incompressible ou qu’un élément rec- 
‘angulaire devenant obliquangle conserve le même volume, précisement les formules (a) 
exprimant le remarquable théorème de Cauchy | Mémoire sur la théorie des ondes, concours 
3 1815-1816, au tome I des Savants étrangers (1827), formules (16) ou (17) de la 2° par- 
tie, p. 43]. 
