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Il faudra, à cet effet, prendre pour ọ, non pas une expression finie 
comme celle que semble indiquer M. Helmholtz, c’est-à-dire de la forme du 
qui sont comprises dans la formule triple 
(ass Nas ta) 
k MN dadbilc; 
( ) )= se RE fé x—a} + (y — bP + (sc 
où m = 3,14159.. -y et où Éa, na, Ča expriment, en a, 6, c, les valeurs de č, n, & pour tous 
les points (a, b, c) de la masse ou de la partie de la masse mobile dans laquelle il y a des 
mouvements gyratoires, si leurs axes de rotation, aux limites de eette masse, sont tangents à la 
surface qui la termine. Cette condition se trouve remplie dans nos écoulements de matière 
si, à ce que contient le vase à une époque quelconque, on ajoute une portion du jet hors de 
l'orifice, telle que les rotations à son extrémité puissent être supposées nulles; en sorte qu'il 
n’est pas nécessaire d'augmenter la masse donnée d’une masse fictive, comme l'indique M. Helm- 
holtz pour les cas où la masse réelle ne remplit pas à ses limites propres la condition énoncée. 
En effet, les trois équations différentielles én L, M, N respectivement, qui résultent de la 
` 
substitution de (16) dans (14) eu égard à ee sont comprises dans 
— 2(6, KE) bj- 
P(L M;N) -AL M; Ni Te M N) _ 
(2) + 
A dæ? dy? 
Elles sont bien satisfaites par les expressions (4), d’après la propriété connue et facilement 
démontrable du potentiel des attractions inverses des carrés des distances, exercées par tous 
les points (a, b, c) d’un espace sur un point unique (x, y, z) dans le cas où celui-ci se trouve 
+ PT & * 2 d? d? 5 
à l’intérieur de la masse attirante ; car on sait qu’alors le SR D de ce potentiel, 
‘4 
exprimé par une intégrale triple comme celle de {#), est égal, non pas à zéro, comme quand 
le point (x, y, z) est extérieur, mais à — 4rp, p étant la densité autour de ce point. 
aM o dw te 
—— + ——, si on le compose avec les expressions (A) differen- 
dy dz 
tiées, en intégrant ensuite par parties les trois termes par rapport à a, b, c, après avoir re- 
I I 
d (=) d = 
présenté le radical par r et avoir écrit — STA in heu de 2 qui y équivaut, 
d(a, b,c) d\z,Y, 2) 
on obtient, de représentant les éléments superficiels de la surface de la masse fluide consi- 
d 
Et, quant à (15) ss T 
dérée, et z, 6, y les angles de leurs normales avec les x, y, z: 
TE La dt,\ dadbdc 
RSR ER a a 6 a Ties zn s eraa Mr ma TELE 
2 fe cosa + na COSG + C cosy) © LI E + e) j 
La parenthèse du second terme est identiquement nulle d'après (10), et celle du premier 
terme est nulle aussi, puisque Paxe de la rotation, dont les angles avec les axes céordonnes 
ont des cosinus proportionnels à Éz, na, Ca, est supposé, aux limites, être perpendiculaire aux 
- du dM 45 
normales des éléments superficiels de la surface-enveloppe. En sorte qe- + dri T 
í 12 
est bien égal à zero, et les expressions ( 4) remplissent les conditions énoncées. 
