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La recherche des surfaces ayant une image sphérique donnée a en- 
core un autre intérêt. Toutes les fois qu’on aura trouvé des surfaces admet- 
tant une représentation sphérique donnée, on connaîtra leurs lignes de cour- 
bure; et par suite les différentes solutions de notre problème permettront 
d'augmenter le nombre encore assez limité des surfaces dont on connaît 
les lignes de courbure. 
Soit un système de lignes sphériques orthogonales, l'expression de la 
distance de deux points infiniment voisins sera donnée par une formule 
ds? = A? dọ + Cdp? 
Si nous considérons un système de surfaces parallèles ayant ce système de 
lignes orthogonales pour image sphérique, l'expression de la distance de 
deux points infiniment voisins sur ces surfaces sera donnée par la formule 
ds? = (Ak + B? dp? + (Ck + D} dp?, 
k étant une constante qui varie quand on passe d’une surface à une autre 
des surfaces parallèles; Bet D sont deux fonctions inconnues à déterminer. 
Du reste, quand on connaîtra ces deux fonctions, le problème pourra être 
regardé comme résolu, puisqu'on saura déterminer pour chaque valeur de 
p et de p, la direction de la normale, et par suite les différentielles totales 
des coordonnées x, y, z, regardées comme fonction de p et p,. 
On trouve, soit en employant les formules de M. Codazzi, soit en em- 
ployant celles de M. Lamé, les équations suivantes pour B et D : 
1 dB L.dÆ 
Dé CH" 
tap | dD 
B dp À dp 
Ces équations sont linéaires, on peut les simplifier en introduisant, au lieu 
de Bet de D, les inconnues 
B D 
M = E M’ Crh e 
et Pon obtient les équations 
dM i 1 dA 
i (M' — M) Ad 
dM’ tag 
a (MM) Pre 
qui conduisent pour M à équation aux dérivées partielles du second ordre 
dA 
d” M 1 dA dM dM d di > 
dpd Y A dp dp dm PERG T O 
