(1995 ) 
Cette équation fait partie d’une classe d'équations linéaires étudiées d’abord 
par Laplace, elle peut s'intégrer dans un nombre illimité de cas. Le pre- 
` : f ; j dM 
mier qui se présente est celui pour lequel le coefficient de T est nul. Dans 
i 
ce cas, les lignes de l’un des systèmes sont des cercles, et les surfaces cor- 
respondantes ont leurs lignes de courbure planes. ; 
» On peut encore intégrer l'équation précédente quand les lignes de 
courbure de la surface cherchée doivent être sphériques; on est ainsi con- 
duit à une méthode assez semblable à celle dont M. Lemonnier a fait usage 
dans un travail récent. 
» Mais les deux cas précédents ne sont pas les seuls dans lesquels on 
puisse résoudre le problème, et c’est ce qui constitue le caractère de la mé- 
thode que nous avons suivie : elle conduit à une série de problèmes analo- 
gues à la recherche des surfaces à lignes de courbure planes et sphériques, 
quoique plus difficiles. Mais alors la difficulté se déplace; il faut trouver 
des systèmes sphériques tels, que l'équation du problème puisse s'intégrer. 
» Néanmoins, on peut résoudre le problème dans un certain nombre de 
cas nouveaux, par exemple, si le système sphérique se compose d’ellipses 
homofocales. On est conduit, comme je l'ai montré dans ma communica- 
tion du 30 novembre dernier, à des surfaces qui peuvent faire partie d’un 
systeme orthogonal et aussi à des surfaces différentes des premières, et qui 
ne paraissent pas susceptibles de former des systèmes orthogonaux. Mais la 
forme même des équations précédentes indique un résultat important. Les 
équations du problème sont linéaires, et par suite, lorsqu'on en connaîtra 
plusieurs solutions particulières, on aura une solution plus générale en 
ajoutant ces solutions particulières multipliées par des constantes arbi- 
traires. On est ainsi conduit au théorème suivant. Soient 
£= J (P, ha) I= fip p) = fal p), 
et 
X = F(p, p1) ps = F, (p, Piy Z = F, (2; Pa) 
deux systèmes d'équations déterminant deux surfaces de même représen- 
lation sphérique. Les surfaces 
x= af (p, pı) + BF (p,pih 
y = aj (p, pı) + bF, (p, ps), 
z= afiı(p, pı) + bFi(p, pi) 
auront toutes même représentation sphérique que les premières. 
a | 
33. 
