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Laplace généralisa l’analyse de cet illustre géomètre et étendit la formule 
trouvée par lui au développement, suivant les puissances de a et de b, d’une 
fonction quelconque F (z, z'), z et z’ étant les racines des équations 
- 3 =%+a0.(3,2°, 
z'= y bpn g 
Mais la formule de Laplace est beaucoup moins simple que celle de La- 
grange, et elle a été moins utile pour le développement des fonctions. 
» On peut rendre une grande simplicité à la formule de Laplace en dé- 
veloppant en série, non plus une fonction quelconque de z et de z', mais 
l'expression suivante 
F(z, z’) ZF- FF =s ASE : ` 
dx dy dy dx 2 do b dy de dy 
en LÉ ue si _— eR Ee mt 
daj \' dz’ dz' dz. 
On obtient alors la formule très-symétrique 
dz dz' dz dz! m hn dm+n 
F Z -g (Z ur le a Von a m Š n 
SH dr dy. dy à ro dx" dy" Fer) par) Car), 
, A . ` 
et l’on reconnaît sous cette forme une analogie plus complète avec la for- 
mule donnée par Legrange. 
» On peut effectuer dans les équations primitives nn changement de 
variables. Posons 
Zz = X + AU, 
z= y + bv, 
les équations deviennent 
u =ọ(x +au, y + bv), 
: v= 4 (x + au, y+ bv), 
et, en posant ọ = y, on doit prendre u = v; on obtient ainsi l'équation 
u = ọ (x + au, y + bu), 
et l'on'retrouve la formule si intéressante et si féconde en conséquences 
donnée par M. Hermite dans ses études sur le développement des fonctions 
=e serie. Du reste, la présence d'un déterminant fonctionnel comme mul- 
tiplicateur dans la fonction qu’on développe facilite le calcul de certaines 
intégrales doubles qui ont une grande importance dans cette théorie du 
développement des fonctions. 
» Je me suis aussi occupé des conditions de convergence de la série. On 
